函数z=x^2-y^2在闭区域D: (x^2)/(4)+y^2 leq 1上的最大值和最小值分别是(）.A. 4,0B. 4,1C. 0,-1D. 4,-1

考查要点：本题主要考查多元函数在闭区域上的极值求解方法，包括内部极值和边界极值的计算，以及比较所有可能的极值点确定最值。

解题核心思路：

1. 内部极值：通过求偏导数找到临界点，代入函数计算对应的值。
2. 边界极值：将边界条件代入函数，转化为单变量函数求极值，或利用参数方程法分析。
3. 比较所有极值：综合内部和边界的所有极值，确定最大值和最小值。

破题关键点：

• 内部临界点：通过偏导数为零确定。
• 边界处理：利用椭圆方程消元，将函数转化为单变量二次函数，分析其极值。
• 端点检查：注意椭圆边界上的端点（如$x = \pm 2$）可能对应极值。

1. 求内部极值

函数$z = x^2 - y^2$的偏导数为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -2y.$
令偏导数为零，解得临界点$(0, 0)$，对应$z = 0$。

2. 求边界极值

边界方程为$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$，将$y^2 = 1 - \frac{x^2}{4}$代入函数：
$z = x^2 - \left(1 - \frac{x^2}{4}\right) = \frac{5x^2}{4} - 1.$

• 极值分析：该二次函数开口向上，极小值在$x = 0$时取得，对应$z = -1$。
• 端点分析：当$x = \pm 2$时，$y = 0$，对应$z = 4$。

3. 比较所有极值

• 内部极值：$z = 0$。
• 边界极值：最大值$z = 4$，最小值$z = -1$。
• 综合得最大值为$4$，最小值为$-1$。