题目

若=(x)^e+(e)^x+(x)^x+(a)^2a，求=(x)^e+(e)^x+(x)^x+(a)^2a

若 $y=x^e+e^x+x^x+a^{2a}$ ，求 $y'$

题目解答

答案

由题得 $y=x^e+e^x+x^x+a^{2a}$ ，其中 $a^{2a}$ 为一个常数

因为 $x^x=e^{Inx^x}=e^{xInx}$

所以 $y=x^e+e^x+e^{xInx}+a^{2a}$

则根据求导法则： $\left(u\pm v\right)'=u'\pm v'$ ， $\left(uv\right)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ ，复合函数求导： $y=f\left(u\right),u=g\left(x\right)$ ，则 $y'=f'\left(u\right)\cdot g'\left(x\right)$ 以及常数的导数为零

可得 $y'=\left(x^e\right)'+\left(e^x\right)'+e^{xInx}\cdot\left(xInx\right)'+0$ $=ex^{e-1}+e^x+e^{xInx}\cdot\left(Inx+x\cdot\frac{1}{x}\right)$ $=ex^{e-1}+e^x+e^{xInx}\cdot\left(Inx+1\right)$ $=ex^{e-1}+e^x+x^x\left(Inx+1\right)$

故本题答案为 $y'=ex^{e-1}+e^x+x^x\left(Inx+1\right)$

解析

步骤 1：理解函数表达式
函数$y={x}^{e}+{e}^{x}+{x}^{x}+{a}^{2a}$由四个部分组成，其中${a}^{2a}$是一个常数，因为$a$是常数，所以${a}^{2a}$也是常数。
步骤 2：求导
根据求导法则，对函数$y$求导，需要分别对每一项求导。
- 对于${x}^{e}$，使用幂函数求导法则，得到$e{x}^{e-1}$。
- 对于${e}^{x}$，使用指数函数求导法则，得到${e}^{x}$。
- 对于${x}^{x}$，使用复合函数求导法则，首先将${x}^{x}$写成${e}^{x\ln x}$，然后求导得到${e}^{x\ln x}\cdot (\ln x+x\cdot \dfrac {1}{x})$，即${x}^{x}(\ln x+1)$。
- 对于${a}^{2a}$，因为它是常数，所以其导数为0。
步骤 3：整理求导结果
将上述求导结果整理，得到$y'=e{x}^{e-1}+{e}^{x}+{x}^{x}(\ln x+1)$。