题目

3.(简答题，10.0分)9x-21y=144

3.(简答题，10.0分) 9x-21y=144

题目解答

答案

要解方程 $9x - 21y = 144$，我们可以按照以下步骤进行： 1. **简化方程**：首先，我们找到方程左边的系数和右边常数的最大公约数（GCD）。9、-21和144的最大公约数是3。我们将方程的每一项都除以3。 \[ \frac{9x}{3} - \frac{21y}{3} = \frac{144}{3} \] 简化后，我们得到： \[ 3x - 7y = 48 \] 2. **将一个变量表示为另一个变量的函数**：我们可以将 $x$ 表示为 $y$ 的函数。为此，我们把包含 $y$ 的项移到方程的右边。 \[ 3x = 7y + 48 \] 然后，我们将每一项都除以3。 \[ x = \frac{7y + 48}{3} \] 3. **找到整数解**：为了使 $x$ 是整数，分子 $7y + 48$ 必须能被3整除。我们可以通过考虑 $7y + 48$ 除以3的余数来检查这一点。由于 $48$ 能被3整除，我们只需要检查 $7y$ 除以3的余数。我们知道 $7 \equiv 1 \pmod{3}$，所以 $7y \equiv y \pmod{3}$。因此，$y$ 必须能被3整除。设 $y = 3k$，其中 $k$ 是整数。将 $y = 3k$ 代入 $x$ 的方程中，我们得到： \[ x = \frac{7(3k) + 48}{3} = \frac{21k + 48}{3} = 7k + 16 \] 因此，方程的整数解为： \[ x = 7k + 16 \quad \text{和} \quad y = 3k \] 其中 $k$ 是任意整数。 由于题目没有指定要找到特定的解，通解为： \[ \boxed{(7k + 16, 3k)} \] 其中 $k$ 是任意整数。

解析

考查要点：本题主要考查二元一次不定方程的整数解求解方法，需要学生掌握方程化简、变量分离以及整数解条件分析的步骤。

解题核心思路：

  1. 化简方程：通过约去系数和常数项的最大公约数（GCD），将方程转化为更简单的形式。
  2. 变量分离：将其中一个变量表示为另一个变量的函数，便于分析整数解的条件。
  3. 整数解条件：通过分析分子的整除性，确定变量的取值范围，最终用参数表示通解。

破题关键点：

  • 识别最大公约数（9、21、144的GCD为3）。
  • 利用模运算分析分子的整除性，确定变量的约束条件。

步骤1：化简方程

原方程为 $9x - 21y = 144$。

  1. 计算GCD：9、21、144的最大公约数为3。
  2. 方程两边除以3：
    $3x - 7y = 48$

步骤2：变量分离

将 $x$ 表示为 $y$ 的函数：

  1. 移项：
    $3x = 7y + 48$
  2. 两边除以3：
    $x = \frac{7y + 48}{3}$

步骤3：分析整数解条件

为了使 $x$ 为整数，分子 $7y + 48$ 必须被3整除。

  1. 分解分子：
    $7y + 48 = 7y + 3 \times 16$
    其中 $48 = 3 \times 16$，因此 $48$ 能被3整除。
  2. 分析余数：
    • $7 \equiv 1 \pmod{3}$，所以 $7y \equiv y \pmod{3}$。
    • 要使 $7y + 48 \equiv 0 \pmod{3}$，即 $y \equiv 0 \pmod{3}$。
  3. 设参数：令 $y = 3k$（$k$ 为整数），代入得：
    $x = \frac{7(3k) + 48}{3} = 7k + 16$

步骤4：通解形式

方程的整数解为：
$x = 7k + 16, \quad y = 3k \quad (k \text{ 为任意整数})$