题目
16.设向量的方向余弦分别满足(1) cos alpha =0; (2) cos beta =1; (3) cos alpha =cos beta =0, 问这-|||-些向量与坐标轴或坐标面的关系如何?
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解方向余弦的含义
方向余弦是指向量与坐标轴正方向之间的夹角的余弦值。对于一个向量，其方向余弦满足 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别是向量与 x, y, z 轴正方向的夹角。
步骤 2：分析条件 (1) $\cos \alpha = 0$
当 $\cos \alpha = 0$ 时，向量与 x 轴正方向的夹角为 90°，即向量垂直于 x 轴。由于 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，此时 $\cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，说明向量在 yOz 平面上，即平行于 yOz 平面。
步骤 3：分析条件 (2) $\cos \beta = 1$
当 $\cos \beta = 1$ 时，向量与 y 轴正方向的夹角为 0°，即向量指向与 y 轴正向一致。由于 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，此时 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \gamma = 0$，说明向量在 xOz 平面上，即垂直于 xOz 平面。
步骤 4：分析条件 (3) $\cos \alpha = \cos \beta = 0$
当 $\cos \alpha = \cos \beta = 0$ 时，向量与 x 轴和 y 轴正方向的夹角均为 90°，即向量垂直于 x 轴和 y 轴。由于 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，此时 $\cos^2 \gamma = 1$，说明向量与 z 轴正方向的夹角为 0°，即向量平行于 z 轴。同时，向量垂直于 xOy 平面。
方向余弦是指向量与坐标轴正方向之间的夹角的余弦值。对于一个向量，其方向余弦满足 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别是向量与 x, y, z 轴正方向的夹角。
步骤 2：分析条件 (1) $\cos \alpha = 0$
当 $\cos \alpha = 0$ 时，向量与 x 轴正方向的夹角为 90°，即向量垂直于 x 轴。由于 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，此时 $\cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，说明向量在 yOz 平面上，即平行于 yOz 平面。
步骤 3：分析条件 (2) $\cos \beta = 1$
当 $\cos \beta = 1$ 时，向量与 y 轴正方向的夹角为 0°，即向量指向与 y 轴正向一致。由于 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，此时 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \gamma = 0$，说明向量在 xOz 平面上，即垂直于 xOz 平面。
步骤 4：分析条件 (3) $\cos \alpha = \cos \beta = 0$
当 $\cos \alpha = \cos \beta = 0$ 时，向量与 x 轴和 y 轴正方向的夹角均为 90°，即向量垂直于 x 轴和 y 轴。由于 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$，此时 $\cos^2 \gamma = 1$，说明向量与 z 轴正方向的夹角为 0°，即向量平行于 z 轴。同时，向量垂直于 xOy 平面。