有一半径R,流过稳恒电流I的半圆形导线,如图'所示,放置于均匀外磁场中,则该载流导线所受的安培力大小和方向分别为( )× {}^x B-|||-https:/img.zuoyebang.cc/zyb_f6da511167111ffa9c2fecf4cd8fc9aa.jpg-|||-R-|||-O-|||-×A BIR,向上B 2BIR,向下C 2BIR,向上D 2BIR,由纸面向内
有一半径R,流过稳恒电流I的半圆形导线,如图'所示,放置于均匀外磁场中,则该载流导线所受的安培力大小和方向分别为( )
A BIR,向上
B 2BIR,向下
C 2BIR,向上
D 2BIR,由纸面向内
题目解答
答案
在分析半圆形导线在均匀外磁场下受力的问题时，我们可以运用安培力公式。在这道题中，半圆形导线流过电流 I 并且放置在均匀磁场 B 中。
1. 安培力公式
对于一段导线，在磁场中流过电流时，所受的安培力 
可以用以下公式计算：
其中：
I 是电流。
是导线的长度矢量，方向与电流方向相同。
是外部磁场的磁感应强度。
2. 力的计算
对于半圆形导线：
导线的长度 L 是半圆的长度，
向量 的方向沿着导线的电流方向（从 O 指向导线的弧边）。
3. 磁场对不同段的影响
由于导线是半圆形，且外部磁场是均匀且垂直于纸面向上的（假设），在半圆每一微小段 dL 上，推动力 dF 为：
对于一段半圆导线，
是导线方向与磁场之间的夹角。
从 O 点至半端，沿
，
不同的段都有不同的夹角。
然而，考虑到整个半圆导线的几何对称性，其受力方向将向纸外或向上。由于整个半圆已经线性化并围绕中心 O 而分布，受力具有方向上的对称性。
4. 力的合成
对半圆导线每一微段矢量的合成：
最终我们获得：
5. 确定方向
由于电流方向是从 O 点指向边缘的，与外部均匀的磁场（假设向上，垂直纸面）相交，使用右手定则，确认为：在电流和磁场的交点结合，使力的方向是从纸面向外。
结果选择
所以，最后得出结论：
导线受力的大小是 2BIR（由于只计算了一段半圆向上的弧），方向 是"由纸面向内"。
因此，正确答案为：
D 2BIR，由纸面向内。
解析
考查要点：本题主要考查安培力的计算及矢量积分的应用，需结合半圆形导线的几何特性进行分析。
解题核心思路：
- 安培力公式：$\vec{F} = I \int d\vec{l} \times \vec{B}$，其中$d\vec{l}$为导线微元的长度矢量，方向与电流方向一致。
- 对称性简化：半圆形导线在均匀磁场中，沿磁场方向的分量会叠加，垂直磁场方向的分量相互抵消，最终合力仅在特定方向。
- 方向判断：通过右手法则确定微元受力方向，结合积分结果确定总方向。
破题关键点：
- 导线长度：半圆周长为$\pi R$。
- 磁场方向：假设外磁场垂直纸面向内（与选项方向匹配）。
- 积分计算：通过参数化半圆，对微元受力积分，发现$x$分量抵消，$y$分量叠加。
安培力公式应用
-
微元受力：
半圆上任一点的微元长度矢量为$d\vec{l} = R d\theta (-\sin\theta \hat{i} + \cos\theta \hat{j})$，磁场$\vec{B} = -B \hat{k}$（垂直纸面向内）。
微元受力为：
$d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B} = I R B \left( \sin\theta \hat{i} + \cos\theta \hat{j} \right) d\theta.$ -
积分求总力：
对$\theta$从$0$到$\pi$积分：- $x$分量：$\int_0^\pi \sin\theta d\theta = 0$（对称抵消）。
- $y$分量：$\int_0^\pi \cos\theta d\theta = 2$。
总力为：
$\vec{F} = 2 I B R \hat{j}.$
方向判断
- $y$轴正方向对应由纸面向内（根据坐标系设定），故方向为由纸面向内。