若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

考查要点：本题主要考查条件概率的计算，涉及组合数的应用及事件关系的分析。
解题思路：

1. 明确事件定义：根据题意准确划分事件，如“至少一件废品”、“恰好一件废品”等。
2. 组合数计算：利用组合数公式计算事件发生的可能情况数。
3. 条件概率公式：通过公式 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$ 分步求解。
   关键点：

• 区分“至少一件”与“恰好一件”，避免混淆事件范围。
• 化简表达式时注意分子分母的约分技巧。

第（1）题

事件定义：

• 事件 $A$：取出的两件中至少有一件废品。
• 事件 $B$：两件均为废品。

计算步骤：

1. 计算 $P(A)$：
   $P(A) = \frac{C(m,1)C(M-m,1) + C(m,2)}{C(M,2)} = \frac{m(M-m) + \frac{m(m-1)}{2}}{\frac{M(M-1)}{2}} = \frac{m(2M - m -1)}{M(M-1)}$
2. 计算 $P(AB)$：
   $P(AB) = P(B) = \frac{C(m,2)}{C(M,2)} = \frac{\frac{m(m-1)}{2}}{\frac{M(M-1)}{2}} = \frac{m(m-1)}{M(M-1)}$
3. 代入条件概率公式：
   $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{\frac{m(m-1)}{M(M-1)}}{\frac{m(2M - m -1)}{M(M-1)}} = \frac{m-1}{2M - m -1}$

第（2）题

事件定义：

• 事件 $C$：两件中至少有一件不是废品（即至少一件合格品）。
• 事件 $D$：另一件是废品（即恰好一件合格品，一件废品）。

计算步骤：

1. 计算 $P(C)$：
   $P(C) = 1 - P(\text{两件均为废品}) = 1 - \frac{C(m,2)}{C(M,2)} = 1 - \frac{m(m-1)}{M(M-1)}$
2. 计算 $P(CD)$：
   $P(CD) = \frac{C(M-m,1)C(m,1)}{C(M,2)} = \frac{(M-m)m}{\frac{M(M-1)}{2}} = \frac{2m(M-m)}{M(M-1)}$
3. 代入条件概率公式：
   $P(D|C) = \frac{P(CD)}{P(C)} = \frac{\frac{2m(M-m)}{M(M-1)}}{1 - \frac{m(m-1)}{M(M-1)}} = \frac{2m(M-m)}{M(M-1) - m(m-1)}$

第（3）题

直接计算概率：
$P(\text{至少一件废品}) = 1 - P(\text{两件均为合格品}) = 1 - \frac{C(M-m,2)}{C(M,2)} = 1 - \frac{(M-m)(M-m-1)}{M(M-1)}$