设函数z=f(x,y)由方程y^x+e^z=xz所确定，求dz.

为了求解由方程 $ y^x + e^z = xz $ 所确定的函数 $ z = f(x, y) $ 的全微分 $ dz $，我们首先需要对方程两边进行全微分。全微分的公式为： \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] ### 步骤1：对 $ y^x $ 进行全微分 首先，考虑 $ y^x $。使用对数微分法，设 $ u = y^x $。则 $ \ln u = x \ln y $。对两边关于 $ x $ 求偏导数，得到： \[ \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial x} = \ln y \implies \frac{\partial u}{\partial x} = y^x \ln y \] 对两边关于 $ y $ 求偏导数，得到： \[ \frac{1}{u} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x}{y} \implies \frac{\partial u}{\partial y} = y^{x-1} x \] ### 步骤2：对 $ e^z $ 进行全微分 对于 $ e^z $，关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数分别为： \[ \frac{\partial e^z}{\partial x} = e^z \frac{\partial z}{\partial x} \] \[ \frac{\partial e^z}{\partial y} = e^z \frac{\partial z}{\partial y} \] ### 步骤3：对 $ xz $ 进行全微分 对于 $ xz $，使用乘积法则，关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数分别为： \[ \frac{\partial (xz)}{\partial x} = z + x \frac{\partial z}{\partial x} \] \[ \frac{\partial (xz)}{\partial y} = x \frac{\partial z}{\partial y} \] ### 步骤4：对原方程进行全微分 现在，对原方程 $ y^x + e^z = xz $ 两边进行全微分： \[ d(y^x) + d(e^z) = d(xz) \] 代入各部分的全微分，得到： \[ \left( y^x \ln y \, dx + y^{x-1} x \, dy \right) + e^z \left( \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \right) = \left( z + x \frac{\partial z}{\partial x} \right) dx + x \frac{\partial z}{\partial y} dy \] ### 步骤5：整理并求解 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 将 $ dx $ 和 $ dy $ 的系数分别相等，得到两个方程： \[ y^x \ln y + e^z \frac{\partial z}{\partial x} = z + x \frac{\partial z}{\partial x} \] \[ y^{x-1} x + e^z \frac{\partial z}{\partial y} = x \frac{\partial z}{\partial y} \] 从第一个方程解出 $ \frac{\partial z}{\partial x} $： \[ e^z \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial x} = z - y^x \ln y \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} (e^z - x) = z - y^x \ln y \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z - y^x \ln y}{e^z - x} \] 从第二个方程解出 $ \frac{\partial z}{\partial y} $： \[ e^z \frac{\partial z}{\partial y} - x \frac{\partial z}{\partial y} = -y^{x-1} x \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} (e^z - x) = -y^{x-1} x \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y^{x-1} x}{e^z - x} \] ### 步骤6：写出全微分 $ dz $ 将 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 代入全微分公式，得到： \[ dz = \frac{z - y^x \ln y}{e^z - x} dx + \frac{-y^{x-1} x}{e^z - x} dy \] 因此，全微分 $ dz $ 为： \[ \boxed{\frac{(z - y^x \ln y) dx - y^{x-1} x dy}{e^z - x}} \]