:,设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,求证:存在 varepsilon in (0,pi ), 使得 '(xi )=-|||--f(xi ) Cot,

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用以及辅助函数的构造能力。关键在于通过构造合适的函数，将原问题转化为罗尔定理的结论。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：通过观察目标式子$f'(\xi) = -f(\xi)\cot\xi$，发现需要将$f'(x)$与$f(x)$结合，因此考虑引入$\sin x$或$\cos x$构造辅助函数。
2. 满足罗尔定理条件：构造的函数需满足在区间端点处函数值相等，从而直接应用罗尔定理得到导数为零的点。

破题关键点：

• 选择$g(x) = f(x)\sin x$：利用$\sin 0 = \sin \pi = 0$，使得$g(0) = g(\pi) = 0$，满足罗尔定理的条件。
• 对$g(x)$求导：通过导数表达式联立等式，推导出目标式子。

构造辅助函数
设$g(x) = f(x)\sin x$，则：

• 当$x = 0$时，$\sin 0 = 0$，故$g(0) = f(0) \cdot 0 = 0$；
• 当$x = \pi$时，$\sin \pi = 0$，故$g(\pi) = f(\pi) \cdot 0 = 0$。

验证罗尔定理条件

1. 连续性：$f(x)$在$[0, \pi]$连续，$\sin x$在$[0, \pi]$连续，故$g(x)$在$[0, \pi]$连续。
2. 可导性：$f(x)$在$(0, \pi)$可导，$\sin x$在$(0, \pi)$可导，故$g(x)$在$(0, \pi)$可导。
3. 端点值相等：$g(0) = g(\pi) = 0$。

应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在$\xi \in (0, \pi)$，使得$g'(\xi) = 0$。

计算导数并化简
$g'(x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$
令$g'(\xi) = 0$，得：
$f'(\xi)\sin\xi + f(\xi)\cos\xi = 0$
整理得：
$f'(\xi) = -f(\xi)\frac{\cos\xi}{\sin\xi} = -f(\xi)\cot\xi$
即证得结论。