题目
17．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品．第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求：(1）第一次取出的零件是一等品的概率；(2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品概率．
17．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品．第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求：
(1）第一次取出的零件是一等品的概率；
(2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品概率．
题目解答
答案
解答如下：
解析
步骤 1：定义事件
记事件$A_i$为"第i次取出的是一等品"，i=1,2。又记事件$B_j$为"取到第j箱"，j=1,2。其中，$B_1$表示取到第一箱，$B_2$表示取到第二箱。
步骤 2：计算第一次取出的零件是一等品的概率
根据全概率公式，$P(A_1)=P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_1|B_2)$。由于从两箱中随意挑出一箱，所以$P(B_1)=P(B_2)=\dfrac{1}{2}$。第一箱中一等品的概率为$\dfrac{20}{50}$，第二箱中一等品的概率为$\dfrac{18}{30}$。因此，$P(A_1)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{20}{50}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{18}{30}=0.5$。
步骤 3：计算在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率
根据条件概率公式，$P(A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}$。其中，$P(A_1A_2)=P(B_1)P(A_1A_2|B_1)+P(B_2)P(A_1A_2|B_2)$。$P(A_1A_2|B_1)=\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}$，$P(A_1A_2|B_2)=\dfrac{18}{30}\cdot\dfrac{17}{29}$。因此，$P(A_1A_2)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{18}{30}\cdot\dfrac{17}{29}=0.253413$。所以，$P(A_2|A_1)=\dfrac{0.253413}{0.5}=0.5068$。
记事件$A_i$为"第i次取出的是一等品"，i=1,2。又记事件$B_j$为"取到第j箱"，j=1,2。其中，$B_1$表示取到第一箱，$B_2$表示取到第二箱。
步骤 2：计算第一次取出的零件是一等品的概率
根据全概率公式，$P(A_1)=P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_1|B_2)$。由于从两箱中随意挑出一箱，所以$P(B_1)=P(B_2)=\dfrac{1}{2}$。第一箱中一等品的概率为$\dfrac{20}{50}$，第二箱中一等品的概率为$\dfrac{18}{30}$。因此，$P(A_1)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{20}{50}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{18}{30}=0.5$。
步骤 3：计算在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率
根据条件概率公式，$P(A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}$。其中，$P(A_1A_2)=P(B_1)P(A_1A_2|B_1)+P(B_2)P(A_1A_2|B_2)$。$P(A_1A_2|B_1)=\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}$，$P(A_1A_2|B_2)=\dfrac{18}{30}\cdot\dfrac{17}{29}$。因此，$P(A_1A_2)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{18}{30}\cdot\dfrac{17}{29}=0.253413$。所以，$P(A_2|A_1)=\dfrac{0.253413}{0.5}=0.5068$。