题目
已知 int f(x)dx=x(e)^x-(e)^x+C. 则∫f`(x)dx等于-|||-A (e)^x-(e)^x+C-|||-B (e)^x+(e)^x+C-|||-C (e)^x+C-|||-D (e)^x-2(e)^x+C
题目解答
答案
D. $x{e}^{x}-2{e}^{x}+C$
解析
步骤 1：确定原函数
已知 $\int f(x)dx=x{e}^{x}-{e}^{x}+C$，这意味着 $f(x)$ 的原函数是 $x{e}^{x}-{e}^{x}+C$。
步骤 2：求导得到 $f(x)$
对 $x{e}^{x}-{e}^{x}+C$ 求导，得到 $f(x)$。根据求导法则，$(x{e}^{x})'=x{e}^{x}+{e}^{x}$，$(-{e}^{x})'=-{e}^{x}$，所以 $f(x)=x{e}^{x}+{e}^{x}-{e}^{x}=x{e}^{x}$。
步骤 3：求 $f'(x)$ 的原函数
对 $f(x)=x{e}^{x}$ 求导得到 $f'(x)$，再求 $f'(x)$ 的原函数。$f'(x)=(x{e}^{x})'=x{e}^{x}+{e}^{x}$，所以 $\int f'(x)dx=\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx$。
步骤 4：计算 $\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx$
根据积分法则，$\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx=\int x{e}^{x}dx+\int {e}^{x}dx$。已知 $\int x{e}^{x}dx=x{e}^{x}-{e}^{x}+C$，$\int {e}^{x}dx={e}^{x}+C$，所以 $\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx=x{e}^{x}-{e}^{x}+{e}^{x}+C=x{e}^{x}-2{e}^{x}+C$。
已知 $\int f(x)dx=x{e}^{x}-{e}^{x}+C$，这意味着 $f(x)$ 的原函数是 $x{e}^{x}-{e}^{x}+C$。
步骤 2：求导得到 $f(x)$
对 $x{e}^{x}-{e}^{x}+C$ 求导，得到 $f(x)$。根据求导法则，$(x{e}^{x})'=x{e}^{x}+{e}^{x}$，$(-{e}^{x})'=-{e}^{x}$，所以 $f(x)=x{e}^{x}+{e}^{x}-{e}^{x}=x{e}^{x}$。
步骤 3：求 $f'(x)$ 的原函数
对 $f(x)=x{e}^{x}$ 求导得到 $f'(x)$，再求 $f'(x)$ 的原函数。$f'(x)=(x{e}^{x})'=x{e}^{x}+{e}^{x}$，所以 $\int f'(x)dx=\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx$。
步骤 4：计算 $\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx$
根据积分法则，$\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx=\int x{e}^{x}dx+\int {e}^{x}dx$。已知 $\int x{e}^{x}dx=x{e}^{x}-{e}^{x}+C$，$\int {e}^{x}dx={e}^{x}+C$，所以 $\int (x{e}^{x}+{e}^{x})dx=x{e}^{x}-{e}^{x}+{e}^{x}+C=x{e}^{x}-2{e}^{x}+C$。