题目
4. 幂级数sum_(n=0)^+inftynz^n的和函数为____
4. 幂级数$\sum_{n=0}^{+\infty}nz^{n}$的和函数为____
题目解答
答案
为了找到幂级数$\sum_{n=0}^{+\infty} nz^n$的和函数，我们首先注意到当$n=0$时，级数的首项为$0 \cdot z^0 = 0$。因此，级数可以重写为：
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} nz^n = \sum_{n=1}^{+\infty} nz^n
\]
接下来，我们考虑几何级数$\sum_{n=0}^{+\infty} z^n$，其和函数为$\frac{1}{1-z}$对于$|z| < 1$。对这个和函数关于$z$求导，我们得到：
\[
\frac{d}{dz} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} z^n \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1}
\]
由于$\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{1-z} \right) = \frac{1}{(1-z)^2}$，我们有：
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1} = \frac{1}{(1-z)^2}
\]
为了得到$\sum_{n=1}^{+\infty} nz^n$，我们将级数$\sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1}$乘以$z$：
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} nz^n = z \sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1} = z \cdot \frac{1}{(1-z)^2} = \frac{z}{(1-z)^2}
\]
因此，幂级数$\sum_{n=0}^{+\infty} nz^n$的和函数为：
\[
\boxed{\frac{z}{(1-z)^2}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查幂级数的求和方法，特别是通过几何级数的导数来求解含有系数$n$的幂级数和函数。
解题核心思路：
- 识别级数结构：观察到级数$\sum_{n=0}^{+\infty} nz^n$中$n=0$时首项为0，可简化为$\sum_{n=1}^{+\infty} nz^n$。
- 利用几何级数的导数：已知几何级数$\sum_{n=0}^{+\infty} z^n = \frac{1}{1-z}$，对其求导后得到$\sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1} = \frac{1}{(1-z)^2}$。
- 调整形式匹配原级数：通过乘以$z$将$\sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1}$转化为$\sum_{n=1}^{+\infty} nz^n$，最终得到和函数。
破题关键点：
- 首项简化：去掉$n=0$的零项，简化求和范围。
- 导数操作：通过对几何级数求导引入系数$n$，匹配原级数的结构。
- 代数调整：通过乘以$z$调整幂次，得到目标级数。
-
简化级数形式
当$n=0$时，首项为$0 \cdot z^0 = 0$，因此原级数可简化为：
$\sum_{n=0}^{+\infty} nz^n = \sum_{n=1}^{+\infty} nz^n.$ -
利用几何级数的导数
已知几何级数$\sum_{n=0}^{+\infty} z^n = \frac{1}{1-z}$（$|z| < 1$），对两边关于$z$求导得：
$\frac{d}{dz} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} z^n \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1} = \frac{1}{(1-z)^2}.$ -
调整幂次匹配原级数
将求导后的结果乘以$z$，得到：
$\sum_{n=1}^{+\infty} nz^n = z \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} nz^{n-1} = z \cdot \frac{1}{(1-z)^2} = \frac{z}{(1-z)^2}.$