X,Y相互独立,且都服从区间[0,1]上的均匀分布,则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是( )A. (X,Y)B. X+YC. X2D. X-Y

考查要点：本题主要考查独立均匀分布随机变量的函数分布以及联合分布的性质。关键在于理解不同变换（如和、差、平方等）对分布的影响。

解题核心思路：

1. 联合分布：若两个独立随机变量各自服从均匀分布，则它们的联合分布是否保持均匀性？
2. 函数变换：对单变量（如平方、线性变换）或双变量（如和、差）的函数，其分布是否仍为均匀分布？

破题关键点：

• 选项A的联合分布直接由独立性决定，无需复杂计算。
• 其他选项需通过概率密度变换或卷积公式分析，均会导致非均匀分布。

选项A：$(X,Y)$

联合分布的性质：

• $X$和$Y$独立，且均服从$[0,1]$上的均匀分布。
• 联合概率密度函数为：
  $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = 1 \cdot 1 = 1 \quad \text{（在单位正方形内）}$
• 因此，$(X,Y)$在区域$[0,1] \times [0,1]$上服从均匀分布。

选项B：$X+Y$

和的分布：

• $X$和$Y$独立，$X+Y$的分布可通过卷积公式计算：
  $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$
• 当$0 \leq z \leq 1$时，$f_{X+Y}(z) = z$；当$1 < z \leq 2$时，$f_{X+Y}(z) = 2 - z$。
• 分布呈现三角形形状，而非均匀分布。

选项C：$X^2$

平方变换的分布：

• 对$X \sim U[0,1]$，令$Z = X^2$，则累积分布函数为：
  $P(Z \leq z) = P(X \leq \sqrt{z}) = \sqrt{z} \quad (0 \leq z \leq 1)$
• 概率密度函数为：
  $f_Z(z) = \frac{1}{2\sqrt{z}} \quad (0 < z \leq 1)$
• 密度函数随$z$减小而增大，非均匀分布。

选项D：$X-Y$

差的分布：

• $X$和$Y$独立，$X-Y$的分布范围为$[-1,1]$。
• 通过卷积公式或几何概率分析可知，分布关于$0$对称，且在$-1$到$1$之间呈线性变化，而非均匀分布。