设随机变量X的概率密度为f(x)= ) ax, 0leqslant xleqslant 4 0, .(1)求常数a;(2)求Y=2X+1的概率密度.

步骤 1：确定常数a
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分等于1，即：
$$\int_{0}^{4} ax \, dx = 1$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到：
$$\frac{a}{2}x^2 \Big|_{0}^{4} = 1$$
$$\frac{a}{2} \cdot 4^2 = 1$$
$$8a = 1$$
$$a = \frac{1}{8}$$
步骤 3：求Y的概率密度
已知Y = 2X + 1，则$X = \frac{Y - 1}{2}$，$X' = \frac{1}{2}$。
先求Y的分布函数$F_Y(y)$：
$$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(2X + 1 \leq y) = P(X \leq \frac{y - 1}{2})$$
$$F_Y(y) = \int_{0}^{\frac{y - 1}{2}} \frac{1}{8}x \, dx$$
步骤 4：计算分布函数
计算上述积分，得到：
$$F_Y(y) = \frac{1}{16}x^2 \Big|_{0}^{\frac{y - 1}{2}}$$
$$F_Y(y) = \frac{1}{16} \left(\frac{y - 1}{2}\right)^2$$
$$F_Y(y) = \frac{1}{64}(y - 1)^2$$
步骤 5：求导得到概率密度
对$F_Y(y)$求导可得Y的概率密度$f_Y(y)$：
$$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{1}{32}(y - 1)$$