题目
已知三点M（1，2，-1），A（-2，3，1）和B（1，1，2），计算：（1）△MAB的面积；（2）以overrightarrow(MA)，overrightarrow(MB)为邻边的平行四边形的面积；（3）同时垂直于overrightarrow(MA)，overrightarrow(MB)的单位向量overrightarrow(a)．
已知三点M（1，2，-1），A（-2，3，1）和B（1，1，2），计算：
（1）△MAB的面积；
（2）以$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$为邻边的平行四边形的面积；
（3）同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的单位向量$\overrightarrow{a}$．
（1）△MAB的面积；
（2）以$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$为邻边的平行四边形的面积；
（3）同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的单位向量$\overrightarrow{a}$．
题目解答
答案
解：（1）点M（1，2，-1），A（-2，3，1）和B（1，1，2），
所以$\overrightarrow{MA}$=（-3，1，2），$\overrightarrow{MB}$=（0，-1，3），
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0-1+6=5，|$\overrightarrow{MA}$|=$\sqrt{9+1+4}$=$\sqrt{14}$，|$\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{0+1+9}$=$\sqrt{10}$，
设$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{MA}\bullet \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}|×|\overrightarrow{MB}|}$=$\frac{5}{\sqrt{14}×\sqrt{10}}$=$\frac{5}{\sqrt{140}}$，
sinθ=$\sqrt{1{-(\frac{5}{\sqrt{140}})}^{2}}$=$\sqrt{\frac{115}{140}}$，
所以△MAB的面积为S△MAB=$\frac{1}{2}$×|$\overrightarrow{MA}$|×|$\overrightarrow{MB}$|×sinθ=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{14}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{\frac{115}{140}}$=$\frac{\sqrt{115}}{2}$；
（2）以$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$为邻边的平行四边形的面积为S平行四边形=2S△MAB=$\sqrt{115}$；
（3）设同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的向量$\overrightarrow{b}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MA}=0}\\{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+y+2z=0}\\{-y+3z=0}\end{array}\right.$，令z=1，y=3，x=$\frac{5}{3}$，
得$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{3}$，3，1），
所以$\overrightarrow{a}$=±$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=±（$\frac{5}{\sqrt{115}}$，$\frac{3}{\sqrt{115}}$，$\frac{1}{\sqrt{115}}$）=±（$\frac{\sqrt{115}}{23}$，$\frac{9\sqrt{115}}{115}$，$\frac{3\sqrt{115}}{115}$）．
所以$\overrightarrow{MA}$=（-3，1，2），$\overrightarrow{MB}$=（0，-1，3），
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0-1+6=5，|$\overrightarrow{MA}$|=$\sqrt{9+1+4}$=$\sqrt{14}$，|$\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{0+1+9}$=$\sqrt{10}$，
设$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{MA}\bullet \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}|×|\overrightarrow{MB}|}$=$\frac{5}{\sqrt{14}×\sqrt{10}}$=$\frac{5}{\sqrt{140}}$，
sinθ=$\sqrt{1{-(\frac{5}{\sqrt{140}})}^{2}}$=$\sqrt{\frac{115}{140}}$，
所以△MAB的面积为S△MAB=$\frac{1}{2}$×|$\overrightarrow{MA}$|×|$\overrightarrow{MB}$|×sinθ=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{14}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{\frac{115}{140}}$=$\frac{\sqrt{115}}{2}$；
（2）以$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$为邻边的平行四边形的面积为S平行四边形=2S△MAB=$\sqrt{115}$；
（3）设同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的向量$\overrightarrow{b}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MA}=0}\\{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+y+2z=0}\\{-y+3z=0}\end{array}\right.$，令z=1，y=3，x=$\frac{5}{3}$，
得$\overrightarrow{b}$=（$\frac{5}{3}$，3，1），
所以$\overrightarrow{a}$=±$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=±（$\frac{5}{\sqrt{115}}$，$\frac{3}{\sqrt{115}}$，$\frac{1}{\sqrt{115}}$）=±（$\frac{\sqrt{115}}{23}$，$\frac{9\sqrt{115}}{115}$，$\frac{3\sqrt{115}}{115}$）．
解析
步骤 1：计算向量$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$
根据点M（1，2，-1），A（-2，3，1）和B（1，1，2），计算向量$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$。
$\overrightarrow{MA}$ = A - M = (-2 - 1, 3 - 2, 1 + 1) = (-3, 1, 2)
$\overrightarrow{MB}$ = B - M = (1 - 1, 1 - 2, 2 + 1) = (0, -1, 3)
步骤 2：计算$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$的点积和模长
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$ = (-3) * 0 + 1 * (-1) + 2 * 3 = 0 - 1 + 6 = 5
|$\overrightarrow{MA}$| = $\sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{9 + 1 + 4}$ = $\sqrt{14}$
|$\overrightarrow{MB}$| = $\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 3^2}$ = $\sqrt{0 + 1 + 9}$ = $\sqrt{10}$
步骤 3：计算$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$的夹角
cosθ = $\frac{\overrightarrow{MA}\bullet \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}|×|\overrightarrow{MB}|}$ = $\frac{5}{\sqrt{14}×\sqrt{10}}$ = $\frac{5}{\sqrt{140}}$
sinθ = $\sqrt{1 - (\frac{5}{\sqrt{140}})^2}$ = $\sqrt{\frac{115}{140}}$
步骤 4：计算△MAB的面积
S_△MAB = $\frac{1}{2}$ × |$\overrightarrow{MA}$| × |$\overrightarrow{MB}$| × sinθ = $\frac{1}{2}$ × $\sqrt{14}$ × $\sqrt{10}$ × $\sqrt{\frac{115}{140}}$ = $\frac{\sqrt{115}}{2}$
步骤 5：计算以$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$为邻边的平行四边形的面积
S_平行四边形 = 2 × S_△MAB = 2 × $\frac{\sqrt{115}}{2}$ = $\sqrt{115}$
步骤 6：计算同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的单位向量$\overrightarrow{a}$
设同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的向量$\overrightarrow{b}$ = (x, y, z)
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MA}=0}\\{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+y+2z=0}\\{-y+3z=0}\end{array}\right.$
令z = 1，y = 3，x = $\frac{5}{3}$
得$\overrightarrow{b}$ = ($\frac{5}{3}$, 3, 1)
所以$\overrightarrow{a}$ = ±$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ = ±($\frac{5}{\sqrt{115}}$, $\frac{3}{\sqrt{115}}$, $\frac{1}{\sqrt{115}}$) = ±($\frac{\sqrt{115}}{23}$, $\frac{9\sqrt{115}}{115}$, $\frac{3\sqrt{115}}{115}$)
根据点M（1，2，-1），A（-2，3，1）和B（1，1，2），计算向量$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$。
$\overrightarrow{MA}$ = A - M = (-2 - 1, 3 - 2, 1 + 1) = (-3, 1, 2)
$\overrightarrow{MB}$ = B - M = (1 - 1, 1 - 2, 2 + 1) = (0, -1, 3)
步骤 2：计算$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$的点积和模长
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$ = (-3) * 0 + 1 * (-1) + 2 * 3 = 0 - 1 + 6 = 5
|$\overrightarrow{MA}$| = $\sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{9 + 1 + 4}$ = $\sqrt{14}$
|$\overrightarrow{MB}$| = $\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 3^2}$ = $\sqrt{0 + 1 + 9}$ = $\sqrt{10}$
步骤 3：计算$\overrightarrow{MA}$和$\overrightarrow{MB}$的夹角
cosθ = $\frac{\overrightarrow{MA}\bullet \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}|×|\overrightarrow{MB}|}$ = $\frac{5}{\sqrt{14}×\sqrt{10}}$ = $\frac{5}{\sqrt{140}}$
sinθ = $\sqrt{1 - (\frac{5}{\sqrt{140}})^2}$ = $\sqrt{\frac{115}{140}}$
步骤 4：计算△MAB的面积
S_△MAB = $\frac{1}{2}$ × |$\overrightarrow{MA}$| × |$\overrightarrow{MB}$| × sinθ = $\frac{1}{2}$ × $\sqrt{14}$ × $\sqrt{10}$ × $\sqrt{\frac{115}{140}}$ = $\frac{\sqrt{115}}{2}$
步骤 5：计算以$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$为邻边的平行四边形的面积
S_平行四边形 = 2 × S_△MAB = 2 × $\frac{\sqrt{115}}{2}$ = $\sqrt{115}$
步骤 6：计算同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的单位向量$\overrightarrow{a}$
设同时垂直于$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$的向量$\overrightarrow{b}$ = (x, y, z)
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MA}=0}\\{\overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{MB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+y+2z=0}\\{-y+3z=0}\end{array}\right.$
令z = 1，y = 3，x = $\frac{5}{3}$
得$\overrightarrow{b}$ = ($\frac{5}{3}$, 3, 1)
所以$\overrightarrow{a}$ = ±$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ = ±($\frac{5}{\sqrt{115}}$, $\frac{3}{\sqrt{115}}$, $\frac{1}{\sqrt{115}}$) = ±($\frac{\sqrt{115}}{23}$, $\frac{9\sqrt{115}}{115}$, $\frac{3\sqrt{115}}{115}$)