2.求曲线 ^dfrac (2{3)}+(y)^dfrac (2{3)}=(a)^dfrac (2{3)} 在点 (dfrac (sqrt {2)}(4)a,dfrac (sqrt {2)}(4)a) 处的切线方程和法线方程.

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及利用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对给定的隐函数方程两边同时关于$x$求导，解出$\frac{dy}{dx}$的表达式。
2. 代入点求斜率：将给定点的坐标代入导数表达式，得到切线的斜率$k$。
3. 写方程：利用点斜式方程分别写出切线方程和法线方程（法线斜率为切线斜率的负倒数）。

破题关键点：

• 正确求导：注意隐函数求导时，对$y$求导需乘以$\frac{dy}{dx}$。
• 代数化简：代入点的坐标时，需注意分数和根号的运算准确性。

隐函数求导

对原方程 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ 两边同时关于$x$求导：
$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
解得：
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}} = -\left( \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{3}}$

代入点求斜率

将点 $\left( \frac{\sqrt{2}}{4}a, \frac{\sqrt{2}}{4}a \right)$ 代入导数表达式：
$\frac{dy}{dx} \Bigg|_{\left( \frac{\sqrt{2}}{4}a, \frac{\sqrt{2}}{4}a \right)} = -\left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a}{\frac{\sqrt{2}}{4}a} \right)^{\frac{1}{3}} = -1$
因此，切线斜率 $k = -1$，法线斜率为 $1$。

写方程

1. 切线方程：
   点斜式为：
   $y - \frac{\sqrt{2}}{4}a = -1 \left( x - \frac{\sqrt{2}}{4}a \right)$
   整理得：
   $x + y = \frac{\sqrt{2}}{2}a$

2. 法线方程：
   点斜式为：
   $y - \frac{\sqrt{2}}{4}a = 1 \cdot \left( x - \frac{\sqrt{2}}{4}a \right)$
   整理得：
   $x - y = 0$