设(an)是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求(an)的公比；（2）若a1=1，求数列(nan)的前n项和．

考查要点：本题主要考查等比数列的性质、等差中项的应用，以及利用错位相减法求数列前n项和的方法。

解题核心思路：

1. 第（1）题：利用等差中项的定义建立方程，结合等比数列的通项公式求解公比。
2. 第（2）题：构造数列通项，通过错位相减法求和，注意处理等比数列求和公式的应用。

破题关键点：

• 第（1）题：将“a₁是a₂和a₃的等差中项”转化为方程$2a_1 = a_2 + a_3$，代入等比数列通项后化简求解。
• 第（2）题：通过错位相减法构造方程，将复杂求和转化为等比数列求和问题，注意符号和项数的对应关系。

第（1）题

等差中项条件：
由题意，$a_1$是$a_2$和$a_3$的等差中项，故有
$2a_1 = a_2 + a_3.$

等比数列通项代入：
设公比为$q$，则$a_2 = a_1 q$，$a_3 = a_1 q^2$，代入得：
$2a_1 = a_1 q + a_1 q^2.$

化简方程：
两边同除以$a_1$（$a_1 \neq 0$），得二次方程：
$q^2 + q - 2 = 0.$

求解公比：
因式分解得：
$(q + 2)(q - 1) = 0,$
解得$q = -2$或$q = 1$。因公比不为1，故$q = -2$。

第（2）题

数列通项：
由$a_1 = 1$，公比$q = -2$，得$a_n = (-2)^{n-1}$，故
$na_n = n \cdot (-2)^{n-1}.$

前n项和构造：
设前n项和为$S_n$，则
$S_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-2)^2 + \cdots + n \cdot (-2)^{n-1}.$

错位相减法：
两边同乘公比$-2$，得：
$-2S_n = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2)^3 + \cdots + n \cdot (-2)^n.$

两式相减：
$S_n - (-2S_n)$得：
$3S_n = 1 + (-2) + (-2)^2 + (-2)^3 + \cdots + (-2)^{n-1} - n \cdot (-2)^n.$

等比数列求和：
前$n$项和为等比数列，首项$1$，公比$-2$，故：
$\frac{1 - (-2)^n}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-2)^n}{3}.$

整理结果：
代入得：
$3S_n = \frac{1 - (-2)^n}{3} - n \cdot (-2)^n,$
化简得：
$S_n = \frac{1 - (1 + 3n)(-2)^n}{9}.$