1 2 3-|||-已知Q= 2 4 t P为3阶非零矩阵,且满足 =0, 则 () 。-|||-3 6 9-|||-A.当 t=6 时,P的秩必为1 B.当 t=6 时,P的秩必为2-|||-C.当 neq 6 时,P的秩必为1 D.当 neq 6 时,P的秩必为2A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、左零空间的维数以及矩阵乘积为零的条件。
解题核心思路：

1. 分析矩阵Q的秩：通过观察Q的行向量线性关系，确定Q的秩随参数t的变化情况。
2. 左零空间的维数：左零空间的维数等于矩阵行数减去Q的秩，从而确定非零矩阵P的可能秩。
3. 结合选项判断：根据Q的秩变化，推导左零空间中非零矩阵P的秩的必然性。

破题关键点：

• 当t=6时，Q的秩为1，左零空间维数为2，此时P的秩可能为1或2，但题目要求“必为”，因此选项A、B均不成立。
• 当t≠6时，Q的秩为2，左零空间维数为1，此时P的秩必为1，故选项C正确。

分析矩阵Q的秩

1. 当t=6时：

   • 第二行变为[2, 4, 6]，是第一行[1, 2, 3]的2倍。
   • 第三行[3, 6, 9]是第一行的3倍。
   • 所有行线性相关，故rank(Q) = 1。

2. 当t≠6时：

   • 第二行[2, 4, t]与第一行线性无关（因为第三列不满足比例关系）。
   • 第三行是第一行的3倍，与第一行相关。
   • 前两行线性无关，故rank(Q) = 2。

左零空间的维数

• 左零空间维数 = 矩阵行数 - 秩 = 3 - rank(Q)。
  • 当t=6时，维数为3 - 1 = 2，存在秩为1或2的非零矩阵P。
  • 当t≠6时，维数为3 - 2 = 1，所有非零矩阵P的秩必为1。

选项判断

• 选项C：当t≠6时，左零空间维数为1，P的秩必为1，正确。
• 其余选项均不符合“必然性”。