题目
3.设(An)是一列集合,作 _(1)=(A)_(1), _(n)=(A)_(n)/((C)_(i)=(C)_(i)(A)_(i)) ,n=2, 3,···,证明(Bn)是一列互不相交的集合,-|||-而且 _(A)=(U)_(AB) =1, 2,......
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查集合的分解与互不相交性，以及并集的等价性。关键在于理解如何通过构造$B_n$将原集合序列分解为互不相交的子集，同时保持并集不变。
解题核心思路：
- 互不相交性：通过定义$B_n$时排除所有之前的集合元素，确保任意两个$B_n$之间没有公共元素。
- 并集等价性：每个元素会被第一个包含它的$A_i$对应到某个$B_i$，从而保证$\bigcup A_i = \bigcup B_i$。
破题关键点：
- 构造性定义：明确$B_n = A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i$的含义，即保留$A_n$中未被前面集合覆盖的部分。
- 最小索引原理：每个元素若属于某个$A_i$，则必然属于第一个包含它的$B_i$，从而保证并集覆盖所有元素。
证明{Bₙ}互不相交
步骤1：假设两个不同的Bₘ和Bₙ（m ≠ n）
- 不妨设$m < n$，则$B_n = A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i$，而$B_m = A_m \setminus \bigcup_{i=1}^{m-1} A_i$。
步骤2：分析交集Bₘ ∩ Bₙ
- 若存在$x \in B_m \cap B_n$，则：
- $x \in A_m$且$x \notin \bigcup_{i=1}^{m-1} A_i$；
- $x \in A_n$且$x \notin \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i$。
- 由于$m < n$，$\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i$包含$A_m$，因此$x \notin A_m$，矛盾。
- 结论：$B_m \cap B_n = \emptyset$，故{Bₙ}互不相交。
证明∪Aᵢ = ∪Bᵢ
步骤1：证明∪Bᵢ ⊆ ∪Aᵢ
- 每个$B_n \subseteq A_n$，故$\bigcup B_n \subseteq \bigcup A_n$。
步骤2：证明∪Aᵢ ⊆ ∪Bᵢ
- 对任意$x \in \bigcup A_i$，设$m$为最小的自然数使得$x \in A_m$。
- 则$x \notin \bigcup_{i=1}^{m-1} A_i$，故$x \in B_m$。
- 因此$x \in \bigcup B_n$，即$\bigcup A_i \subseteq \bigcup B_n$。
结论：$\bigcup A_i = \bigcup B_n$。