题目

(4)intlimits_(L)(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy，其中L是抛物线y=x^2上从点(-1,1)到点(1,1)的一段弧.

(4)$\int\limits_{L}(x^{2}-2xy)dx+(y^{2}-2xy)dy$，其中L是抛物线$y=x^{2}$上从点(-1,1)到点(1,1)的一段弧.

题目解答

答案

为了计算曲线积分 $\int\limits_{L}(x^{2}-2xy)dx+(y^{2}-2xy)dy$，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^2$ 上从点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧，我们可以按照以下步骤进行： 1. **参数化曲线 $L$**: 抛物线 $y = x^2$ 可以自然地以 $x$ 为参数进行参数化。设 $x = t$，则 $y = t^2$，其中 $t$ 的范围从 $-1$ 到 $1$。 2. **将被积函数用参数 $t$ 表示**: - $dx = dt$ - $dy = 2t \, dt$ - 被积函数 $P(x, y) = x^2 - 2xy$ 变为 $P(t, t^2) = t^2 - 2t \cdot t^2 = t^2 - 2t^3$ - 被积函数 $Q(x, y) = y^2 - 2xy$ 变为 $Q(t, t^2) = (t^2)^2 - 2t \cdot t^2 = t^4 - 2t^3$ 3. **将参数化的被积函数代入曲线积分**: \[ \int\limits_{L} (x^2 - 2xy)dx + (y^2 - 2xy)dy = \int_{-1}^{1} \left[ (t^2 - 2t^3) \cdot 1 + (t^4 - 2t^3) \cdot 2t \right] dt \] 简化被积函数： \[ (t^2 - 2t^3) + (t^4 - 2t^3) \cdot 2t = t^2 - 2t^3 + 2t^5 - 4t^4 \] 所以积分变为： \[ \int_{-1}^{1} (t^2 - 2t^3 + 2t^5 - 4t^4) \, dt \] 4. **逐项积分**: \[ \int_{-1}^{1} t^2 \, dt - \int_{-1}^{1} 2t^3 \, dt + \int_{-1}^{1} 2t^5 \, dt - \int_{-1}^{1} 4t^4 \, dt \] 计算每个积分： \[ \int_{-1}^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] \[ \int_{-1}^{1} 2t^3 \, dt = 2 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) = 0 \] \[ \int_{-1}^{1} 2t^5 \, dt = 2 \left[ \frac{t^6}{6} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1^6}{6} - \frac{(-1)^6}{6} \right) = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \right) = 0 \] \[ \int_{-1}^{1} 4t^4 \, dt = 4 \left[ \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^{1} = 4 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = 4 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \right) = 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5} \] 5. **将结果相加**: \[ \frac{2}{3} - 0 + 0 - \frac{8}{5} = \frac{2}{3} - \frac{8}{5} = \frac{10}{15} - \frac{24}{15} = -\frac{14}{15} \] 因此，曲线积分的值是 $\boxed{-\frac{14}{15}}$。

解析

考查要点：本题主要考查第二类曲线积分的计算方法，涉及参数化曲线、被积函数的转换以及对称性在积分中的应用。

解题核心思路：

  1. 参数化曲线：利用抛物线方程$y = x^2$，选择$x$作为参数$t$，将曲线$L$表示为参数方程。
  2. 转换被积函数：将$dx$、$dy$以及被积函数中的$x$和$y$用参数$t$表示。
  3. 简化积分：通过展开被积函数并利用奇偶函数的对称性，减少计算量。

破题关键点：

  • 参数化选择：直接以$x = t$参数化，简化计算。
  • 对称性应用：积分区间对称时，奇函数项积分结果为0，偶函数项可简化计算。

参数化曲线$L$

设参数$t$满足$x = t$，则$y = t^2$，其中$t$的范围为$[-1, 1]$。
此时，$dx = dt$，$dy = 2t \, dt$。

转换被积函数

  • $P(x, y) = x^2 - 2xy = t^2 - 2t \cdot t^2 = t^2 - 2t^3$
  • $Q(x, y) = y^2 - 2xy = (t^2)^2 - 2t \cdot t^2 = t^4 - 2t^3$

曲线积分转换为定积分

原积分变为：
$\int_{-1}^{1} \left[ (t^2 - 2t^3) \cdot 1 + (t^4 - 2t^3) \cdot 2t \right] dt$
展开并合并同类项：
$\int_{-1}^{1} (2t^5 - 4t^4 - 2t^3 + t^2) \, dt$

利用对称性简化计算

  • 奇函数项：$\int_{-1}^{1} 2t^5 \, dt = 0$，$\int_{-1}^{1} -2t^3 \, dt = 0$
  • 偶函数项：
    • $\int_{-1}^{1} -4t^4 \, dt = -4 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{8}{5}$
    • $\int_{-1}^{1} t^2 \, dt = \frac{2}{3}$

最终结果

$0 - \frac{8}{5} + 0 + \frac{2}{3} = -\frac{14}{15}$