题目

12【填空题】若D为3阶行列式，则|3D|=___.

题目解答

答案

对于3阶行列式 $ D $，若每个元素乘以3，则新行列式 $ |3D| $ 的值为原行列式 $ |D| $ 的 $ 3^3 $ 倍。
即：
$|3D| = 3^3 \times |D| = 27|D|$
答案：
$\boxed{27|D|}$

解析

本题考查行列式的性质。解题思路是根据行列式的性质，当行列式某一行（列）的元素都乘以同一个数 $k$ 时，行列式的值等于原行列式的值乘以 $k$；若 $n$ 阶行列式的所有元素都乘以 $k$，相当于每一行都乘以 $k$，那么行列式的值就等于原行列式的值乘以 $k^n$。

下面进行详细计算：
已知 $D$ 为 $3$ 阶行列式，要求 $|3D|$ 的值。
因为 $3D$ 表示 $D$ 中的每一个元素都乘以 $3$，根据上述行列式性质，对于 $3$ 阶行列式，相当于每一行都乘以 $3$。
第一行元素乘以 $3$ 后，行列式的值变为原来的 $3$ 倍；
第二行元素再乘以 $3$ 后，行列式的值在第一行变化的基础上又变为 $3$ 倍，即变为原来的 $3\times3 = 3^2$ 倍；
第三行元素再乘以 $3$ 后，行列式的值在前面变化的基础上又变为 $3$ 倍，即变为原来的 $3^2\times3 = 3^3$ 倍。
所以 $|3D| = 3^3|D|$，而 $3^3=3\times3\times3 = 27$，则 $|3D| = 27|D|$。