设f(x)= { , xneq 0 0, x=0 .的原函数也不存在

考查要点：本题主要考查定积分存在性与原函数存在性的区别，涉及函数的有界性、间断点类型以及导数的存在性。

解题核心思路：

1. 定积分存在性：判断函数在区间上是否可积，需满足有界且间断点构成零测集（如有限个间断点）。
2. 原函数存在性：原函数存在要求函数在区间上几乎处处可导且导数等于原函数，需特别注意特殊点（如$x=0$）的导数是否存在。

破题关键点：

• 定积分存在：$f(x)$在$[-1,1]$上有界，且仅有一个第一类间断点$x=0$，满足可积条件。
• 原函数不存在：$f(x)$在$x=0$附近振荡剧烈，导致其原函数在$x=0$处不可导。

定积分存在性的分析

1. 有界性：$\sin \dfrac{1}{x}$的取值范围为$[-1,1]$，且$f(0)=0$，故$f(x)$在$[-1,1]$上有界。
2. 间断点类型：$f(x)$仅在$x=0$处不连续，属于第一类间断点（左右极限存在）。
3. 可积性结论：根据定积分存在定理，有界函数在有限个间断点的区间上可积，因此$f(x)$在$[-1,1]$上的定积分存在。

原函数存在性的分析

1. 原函数定义：若存在函数$F(x)$使得$F'(x) = f(x)$对所有$x \in [-1,1]$成立，则$f(x)$存在原函数。
2. 关键矛盾点：当$x \to 0$时，$\sin \dfrac{1}{x}$振荡无限次，导致其原函数$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$在$x=0$处的导数不存在（导数定义无法满足）。
3. 结论：原函数在$x=0$处不可导，因此$f(x)$在$[-1,1]$上不存在原函数。