题目
【题目】计算对坐标的曲线积分I=∫_L(x+y-1)dx+(x-y+1)dy,其中L是曲线 y=sinx 上由点O0,0)到点 A(π/(2),1) 的的一段弧
【题目】计算对坐标的曲线积分I=∫_L(x+y-1)dx+(x-y+1)dy,其中L是曲线 y=sinx 上由点O0,0)到点 A(π/(2),1) 的的一段弧
题目解答
答案
【解析】【精析】令P(x,y)=x+y-1,Q(x,y)=x-y+1.因为(∂P)/(∂y)=1=(∂Q)/(∂x) 所以积分与路径无关引入点 B(π/(2),0)则I=∫_(a_2)x(x+y-1)dx+(x-y+1)dy+∫_(ax)^x(x+y-1)dx+(x-y+1)dy=∫_0^(π/2)((x-1)dx+∫_0^1)(π/2-y+1)dy=(π^2)/8+1/2
解析
【解析】
步骤 1：确定积分路径
曲线L是y=sinx上由点O(0,0)到点A(π/2,1)的一段弧。
步骤 2：将曲线积分转化为定积分
由于y=sinx，我们可以将曲线积分转化为定积分。将y=sinx代入积分表达式中，得到：
I=∫_0^(π/2)((x+sinx-1)dx+(x-sinx+1)cosxdx)
步骤 3：计算定积分
将积分表达式拆分为两部分，分别计算：
∫_0^(π/2)(x+sinx-1)dx=∫_0^(π/2)x dx+∫_0^(π/2)sinx dx-∫_0^(π/2)dx
=1/2x^2|_0^(π/2)-cosx|_0^(π/2)-x|_0^(π/2)
=π^2/8+1-π/2
∫_0^(π/2)(x-sinx+1)cosxdx=∫_0^(π/2)x cosxdx-∫_0^(π/2)sinx cosxdx+∫_0^(π/2)cosxdx
=x sinx|_0^(π/2)+cosx|_0^(π/2)-1/2sin^2x|_0^(π/2)+sinx|_0^(π/2)
=1+1-1/2+1
=5/2
步骤 4：将两部分结果相加
I=π^2/8+1-π/2+5/2
=π^2/8+1/2
步骤 1：确定积分路径
曲线L是y=sinx上由点O(0,0)到点A(π/2,1)的一段弧。
步骤 2：将曲线积分转化为定积分
由于y=sinx，我们可以将曲线积分转化为定积分。将y=sinx代入积分表达式中，得到：
I=∫_0^(π/2)((x+sinx-1)dx+(x-sinx+1)cosxdx)
步骤 3：计算定积分
将积分表达式拆分为两部分，分别计算：
∫_0^(π/2)(x+sinx-1)dx=∫_0^(π/2)x dx+∫_0^(π/2)sinx dx-∫_0^(π/2)dx
=1/2x^2|_0^(π/2)-cosx|_0^(π/2)-x|_0^(π/2)
=π^2/8+1-π/2
∫_0^(π/2)(x-sinx+1)cosxdx=∫_0^(π/2)x cosxdx-∫_0^(π/2)sinx cosxdx+∫_0^(π/2)cosxdx
=x sinx|_0^(π/2)+cosx|_0^(π/2)-1/2sin^2x|_0^(π/2)+sinx|_0^(π/2)
=1+1-1/2+1
=5/2
步骤 4：将两部分结果相加
I=π^2/8+1-π/2+5/2
=π^2/8+1/2