题目
判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1)((x, y)|x≠0, y≠0); (2)((x, y)|1<x2+y2≤4); (3)((x, y)|y>x2); (4)((x, y)|x2+(y-1)2≥1)∩((x, y)|x2+(y-2)2≤4).
判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.
(1){(x, y)|x≠0, y≠0};
(2){(x, y)|1<x2+y2≤4};
(3){(x, y)|y>x2};
(4){(x, y)|x2+(y-1)2≥1}∩{(x, y)|x2+(y-2)2≤4}.
题目解答
答案
解(1) 开集, 无界集, 导集为R2, 边界为{(x, y)|x=0或y=0}.
(2) 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x, y)|1≤x2+y2≤4},
边界为{(x, y)|x2+y2=1或x2+y2=4}.
(3) 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x, y)| y≥x2}, 边界为{(x, y)| y=x2}.
(4) 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,
边界为{(x, y)|x2+(y-1)2=1}∪{(x, y)|x2+(y-2)2=4}.
解析
步骤 1：分析集合(1)
集合(1)表示所有x和y都不为0的点。这是一个开集，因为对于集合中的每个点，都可以找到一个足够小的邻域，使得这个邻域内的所有点都属于集合。集合(1)是无界的，因为可以找到任意大的x和y值。导集是整个平面R2，因为每个点都是集合(1)的聚点。边界是x=0或y=0的直线，因为这些直线上的点是集合(1)的边界点。
步骤 2：分析集合(2)
集合(2)表示所有满足1
步骤 3：分析集合(3)
集合(3)表示所有满足y>x2的点。这是一个开集，因为对于集合中的每个点，都可以找到一个足够小的邻域，使得这个邻域内的所有点都属于集合。集合(3)是无界的，因为可以找到任意大的x和y值。导集是所有满足y≥x2的点，因为这些点都是集合(3)的聚点。边界是y=x2的抛物线，因为这条抛物线上的点是集合(3)的边界点。
步骤 4：分析集合(4)
集合(4)表示所有满足x2+(y-1)2≥1且x2+(y-2)2≤4的点。这是一个闭集，因为集合的补集是开集。集合(4)是有界的，因为所有点都位于一个半径为2的圆内。导集与集合本身相同，因为集合(4)中的每个点都是它的聚点。边界是x2+(y-1)2=1和x2+(y-2)2=4的圆，因为这些圆上的点是集合(4)的边界点。
集合(1)表示所有x和y都不为0的点。这是一个开集，因为对于集合中的每个点，都可以找到一个足够小的邻域，使得这个邻域内的所有点都属于集合。集合(1)是无界的，因为可以找到任意大的x和y值。导集是整个平面R2，因为每个点都是集合(1)的聚点。边界是x=0或y=0的直线，因为这些直线上的点是集合(1)的边界点。
步骤 2：分析集合(2)
集合(2)表示所有满足1
步骤 3：分析集合(3)
集合(3)表示所有满足y>x2的点。这是一个开集，因为对于集合中的每个点，都可以找到一个足够小的邻域，使得这个邻域内的所有点都属于集合。集合(3)是无界的，因为可以找到任意大的x和y值。导集是所有满足y≥x2的点，因为这些点都是集合(3)的聚点。边界是y=x2的抛物线，因为这条抛物线上的点是集合(3)的边界点。
步骤 4：分析集合(4)
集合(4)表示所有满足x2+(y-1)2≥1且x2+(y-2)2≤4的点。这是一个闭集，因为集合的补集是开集。集合(4)是有界的，因为所有点都位于一个半径为2的圆内。导集与集合本身相同，因为集合(4)中的每个点都是它的聚点。边界是x2+(y-1)2=1和x2+(y-2)2=4的圆，因为这些圆上的点是集合(4)的边界点。