题目
lim _(xarrow a)dfrac (sin x-sin a)(x-a)。
。
题目解答
答案
已知极限，根据洛必达法则得，
。
解析
步骤 1：识别极限形式
题目给出的极限形式为 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin x-\sin a}{x-a}$，这是一个 $\dfrac{0}{0}$ 型的不定式，适合使用洛必达法则。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=0$ 且 $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在或为无穷大。因此，我们对分子和分母分别求导。
步骤 3：求导并计算极限
分子 $\sin x-\sin a$ 的导数为 $\cos x$，分母 $x-a$ 的导数为 $1$。因此，根据洛必达法则，原极限等于 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{\cos x}{1}$。当 $x$ 趋向于 $a$ 时，$\cos x$ 趋向于 $\cos a$，所以极限值为 $\cos a$。
题目给出的极限形式为 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin x-\sin a}{x-a}$，这是一个 $\dfrac{0}{0}$ 型的不定式，适合使用洛必达法则。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=0$ 且 $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=0$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在或为无穷大。因此，我们对分子和分母分别求导。
步骤 3：求导并计算极限
分子 $\sin x-\sin a$ 的导数为 $\cos x$，分母 $x-a$ 的导数为 $1$。因此，根据洛必达法则，原极限等于 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{\cos x}{1}$。当 $x$ 趋向于 $a$ 时，$\cos x$ 趋向于 $\cos a$，所以极限值为 $\cos a$。