题目
求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:-|||-(1) =(x)^2 ,x=y^2, 绕 y 轴 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体的边界
曲线 $y = x^2$ 和 $x = y^2$ 在第一象限内相交于点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。因此，旋转体的边界由这两个点确定。
步骤 2：确定旋转体的体积公式
绕y轴旋转的旋转体体积公式为 $V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 dy$，其中 $R(y)$ 是旋转体在y处的半径。
步骤 3：计算旋转体的体积
对于曲线 $y = x^2$，$x = \sqrt{y}$，因此半径为 $\sqrt{y}$。对于曲线 $x = y^2$，半径为 $y^2$。因此，旋转体的体积为：
$$
V = \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{y})^2 - (y^2)^2] dy = \pi \int_{0}^{1} [y - y^4] dy
$$
步骤 4：计算积分
$$
V = \pi \int_{0}^{1} [y - y^4] dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \right) = \frac{3}{10}\pi
$$
曲线 $y = x^2$ 和 $x = y^2$ 在第一象限内相交于点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。因此，旋转体的边界由这两个点确定。
步骤 2：确定旋转体的体积公式
绕y轴旋转的旋转体体积公式为 $V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 dy$，其中 $R(y)$ 是旋转体在y处的半径。
步骤 3：计算旋转体的体积
对于曲线 $y = x^2$，$x = \sqrt{y}$，因此半径为 $\sqrt{y}$。对于曲线 $x = y^2$，半径为 $y^2$。因此，旋转体的体积为：
$$
V = \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{y})^2 - (y^2)^2] dy = \pi \int_{0}^{1} [y - y^4] dy
$$
步骤 4：计算积分
$$
V = \pi \int_{0}^{1} [y - y^4] dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \right) = \frac{3}{10}\pi
$$