题目

21. (7.0分) lim_(xto0)(tan x-sin x)/(x^2)sin x (要求：自行拿纸抄题作答，需要有详细的解题过程，并将此题目答案与身份证带照片页一同拍照上传到指定位置)

21. (7.0分) $\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{2}\sin x}$ (要求：自行拿纸抄题作答，需要有详细的解题过程，并将此题目答案与身份证带照片页一同拍照上传到指定位置)

题目解答

答案

**方法一：泰勒展开** 将 $\tan x$ 和 $\sin x$ 展开至 $x^3$ 项： \[ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \] 代入得： \[ \tan x - \sin x = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + O(x^5) = \frac{x^3}{2} + O(x^5) \] 分母 $x^2 \sin x \sim x^3$，故： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^2 \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2} \] **方法二：等价无穷小代换** \[ \sin x \sim x, \quad 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} \] 原式可化为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3} \sim \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{2} \] **方法三：洛必达法则** 多次应用洛必达法则，最终得： \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的能力，涉及泰勒展开、等价无穷小代换、洛必达法则的应用。

解题核心思路：

  1. 分子化简：将$\tan x - \sin x$展开或分解，提取主要高阶项。
  2. 分母简化：利用$\sin x \sim x$的等价无穷小替换，降低复杂度。
  3. 关键替换或展开：通过泰勒展开或等价无穷小，将分子和分母中的高阶小项简化，最终约分求极限。

破题关键点：

  • 识别分子中的高阶项：$\tan x - \sin x$的高阶项为$x^3/2$。
  • 分母的主部提取：$x^2 \sin x$的主部为$x^3$。
  • 约分后直接求极限：通过简化后的分子分母比值直接得到结果。

方法一：泰勒展开法

  1. 展开$\tan x$和$\sin x$至$x^3$项：
    $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
  2. 计算分子$\tan x - \sin x$：
    $\tan x - \sin x = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + O(x^5) = \frac{x^3}{2} + O(x^5)$
  3. 分母近似：
    $x^2 \sin x \sim x^2 \cdot x = x^3$
  4. 求极限：
    $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$

方法二：等价无穷小代换法

  1. 分解分子：
    $\tan x - \sin x = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$
  2. 代入等价无穷小：
    $\sin x \sim x, \quad 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad \cos x \sim 1$
  3. 化简表达式：
    $\frac{\tan x - \sin x}{x^2 \sin x} \sim \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$

方法三：洛必达法则

  1. 首次求导：
    $\frac{d}{dx}(\tan x - \sin x) = \sec^2 x - \cos x, \quad \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$
  2. 二次求导：
    $\frac{d^2}{dx^2}(\sec^2 x - \cos x) = 2 \sec^2 x \tan x + \sin x, \quad \frac{d^2}{dx^2}(2x \sin x + x^2 \cos x) = 2 \sin x + 2x \cos x + 2 \cos x - x^2 \sin x$
  3. 三次求导并代入$x=0$：
    $\lim_{x \to 0} \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$