【题目】设y=y(x)是由方程 xy+e^y=x+1 确定的隐函数,则(d^2y)/(dx^2)|_(x=0)=

考查要点：本题主要考查隐函数的二阶导数求解，涉及隐函数求导法则和链式法则的应用，以及代入特定点求值的能力。

解题核心思路：

1. 确定初始条件：将$x=0$代入原方程，求出对应的$y(0)$。
2. 第一次求导：对原方程两边关于$x$求导，解出一阶导数$y'$的表达式，并代入$x=0$和$y(0)$求$y'(0)$。
3. 第二次求导：对一阶导数的方程再次求导，得到二阶导数$y''$的表达式，代入$x=0$、$y(0)$和$y'(0)$求$y''(0)$。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则和链式法则，尤其注意隐函数$y$对$x$的依赖关系。
• 代入数值时避免符号错误，确保每一步代入的值准确。

步骤1：确定初始条件

当$x=0$时，代入原方程$xy + e^y = x + 1$：
$0 \cdot y(0) + e^{y(0)} = 0 + 1 \implies e^{y(0)} = 1 \implies y(0) = 0.$

步骤2：第一次求导

对原方程两边关于$x$求导：
$\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dx}(x + 1).$
逐项计算：

1. 第一项：$\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$（乘积法则）。
2. 第二项：$\frac{d}{dx}(e^y) = e^y \cdot \frac{dy}{dx}$（链式法则）。
3. 右边：$\frac{d}{dx}(x + 1) = 1$。

整理得：
$y + x\frac{dy}{dx} + e^y \frac{dy}{dx} = 1.$
将$\frac{dy}{dx}$合并：
$\frac{dy}{dx}(x + e^y) = 1 - y \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y}{x + e^y}.$
代入$x=0$，$y=0$：
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = \frac{1 - 0}{0 + e^0} = 1 \implies y'(0) = 1.$

步骤3：第二次求导

对一阶导数的方程$y + x y' + e^y y' = 1$再次求导：
$\frac{d}{dx}\left(y + x y' + e^y y'\right) = \frac{d}{dx}(1).$
逐项计算：

1. 第一项：$\frac{d}{dx}(y) = y'$。
2. 第二项：$\frac{d}{dx}(x y') = y' + x y''$（乘积法则）。
3. 第三项：$\frac{d}{dx}(e^y y') = e^y (y')^2 + e^y y''$（乘积法则和链式法则）。
4. 右边：$\frac{d}{dx}(1) = 0$。

整理得：
$y' + y' + x y'' + e^y (y')^2 + e^y y'' = 0 \implies 2y' + (x + e^y) y'' + e^y (y')^2 = 0.$
代入$x=0$，$y=0$，$y'=1$：
$2 \cdot 1 + (0 + e^0) y'' + e^0 \cdot (1)^2 = 0 \implies 2 + y'' + 1 = 0 \implies y'' = -3.$