设A是 times n 矩阵, (A)=n, 证明 ^T(A)^TAx 是-|||-正定二次型.

考查要点：本题主要考查二次型的正定性判定，以及矩阵秩的性质应用。
解题核心思路：通过变量代换，将二次型转化为向量的范数形式，结合矩阵满秩的性质，证明其正定性。
破题关键点：

1. 变量代换：令 $y = Ax$，将原二次型转化为 $y^Ty$，即向量 $y$ 的范数平方。
2. 满秩性质：利用 $r(A) = n$ 说明 $A$ 的零空间只有零向量，从而当 $x \neq 0$ 时，$y = Ax \neq 0$，范数平方必然正定。

步骤1：变量代换
令 $y = Ax$，则原二次型可表示为：
$x^T A^T A x = y^T y.$

步骤2：分析范数性质
根据向量范数的定义，$y^T y = \|y\|^2$，显然当 $y \neq 0$ 时，$\|y\|^2 > 0$。

步骤3：利用矩阵满秩性质
由于 $r(A) = n$，说明矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，因此齐次方程 $Ax = 0$ 的解仅有 $x = 0$。
当 $x \neq 0$ 时，$y = Ax \neq 0$，从而 $\|y\|^2 > 0$。

步骤4：结论
综上，当且仅当 $x \neq 0$ 时，$x^T A^T A x > 0$，故该二次型正定。