题目
设A是 times n 矩阵, (A)=n, 证明 ^T(A)^TAx 是-|||-正定二次型.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义二次型
考虑二次型 ${x}^{T}{A}^{T}Ax$ ，其中 $x$ 是一个 $n$ 维列向量，$A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，且 $r(A)=n$。
步骤 2：引入中间变量
令 $y=Ax$，则 ${x}^{T}{A}^{T}Ax={y}^{T}y$。
步骤 3：分析向量范数
根据向量的范数定义，${y}^{T}y={||y||}^{2}$，其中 ${||y||}^{2}$ 表示向量 $y$ 的欧几里得范数的平方。
步骤 4：利用矩阵的秩
由于 $r(A)=n$，矩阵 $A$ 的秩等于 $n$，说明 $A$ 是满秩的。因此，当 $x\neq 0$ 时，$y=Ax\neq 0$。
步骤 5：验证正定性
当 $x\neq 0$ 时，$y\neq 0$，因此 ${||y||}^{2}\gt 0$。这意味着 ${x}^{T}{A}^{T}Ax\gt 0$ 当且仅当 $x\neq 0$。
考虑二次型 ${x}^{T}{A}^{T}Ax$ ，其中 $x$ 是一个 $n$ 维列向量，$A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，且 $r(A)=n$。
步骤 2：引入中间变量
令 $y=Ax$，则 ${x}^{T}{A}^{T}Ax={y}^{T}y$。
步骤 3：分析向量范数
根据向量的范数定义，${y}^{T}y={||y||}^{2}$，其中 ${||y||}^{2}$ 表示向量 $y$ 的欧几里得范数的平方。
步骤 4：利用矩阵的秩
由于 $r(A)=n$，矩阵 $A$ 的秩等于 $n$，说明 $A$ 是满秩的。因此，当 $x\neq 0$ 时，$y=Ax\neq 0$。
步骤 5：验证正定性
当 $x\neq 0$ 时，$y\neq 0$，因此 ${||y||}^{2}\gt 0$。这意味着 ${x}^{T}{A}^{T}Ax\gt 0$ 当且仅当 $x\neq 0$。