题目

[例4设随机变量(x,y)在圆 ^2+(y)^2leqslant (R)^2 内服从均匀分布,问x与Y是否相互独立?

题目解答

答案

解析

本题考查二维随机变量的独立性判断，解题思路是先求出二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数，再分别求出关于$X$和$Y$的边缘概率密度函数，最后判断联合概率密度函数是否等于两个边缘概率密度函数的乘积，若相等则$X$与$Y$相互独立，否则不相互独立。

  1. 求联合概率密度函数$f(x,y)$：
    已知随机变量$(X,Y)$在圆$x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}$内服从均匀分布，根据均匀分布的概率密度函数公式，若随机变量$(X,Y)$在区域$D$上服从均匀分布，则其联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S_D},&(x,y)\in D\\0,&(x,y)\notin D\end{cases}$，其中$S_D$是区域$D$的面积。
    圆$x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}$的面积为$S = \pi R^{2}$，所以$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\pi R^{2}},&x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
  2. 求关于$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$：
    根据边缘概率密度函数的定义，$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
    • 当$\vert x\vert\gt R$时，$f(x,y)=0$，则$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dy = 0$。
    • 当$\vert x\vert\leqslant R$时，由$x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}$可得$-\sqrt{R^{2}-x^{2}}\leqslant y\leqslant\sqrt{R^{2}-x^{2}}$，此时$f(x,y)=\frac{1}{\pi R^{2}}$，则$f_X(x)=\int_{-\sqrt{R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\frac{1}{\pi R^{2}}dy$。
      根据定积分的计算法则$\int_{a}^{b}kdy=k(b - a)$（$k$为常数），可得$f_X(x)=\frac{1}{\pi R^{2}}\cdot\left[y\right]_{-\sqrt{R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}=\frac{1}{\pi R^{2}}\cdot\left(\sqrt{R^{2}-x^{2}} - (-\sqrt{R^{2}-x^{2}})\right)=\frac{2}{\pi R^{2}}\sqrt{R^{2}-x^{2}}$。
      综上，$f_X(x)=\begin{cases}\frac{2}{\pi R^{2}}\sqrt{R^{2}-x^{2}},&\vert x\vert\leqslant R\\0,&\vert x\vert\gt R\end{cases}$。
  3. 求关于$Y$的边缘概率密度函数$f_Y(y)$：
    同理，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。
    • 当$\vert y\vert\gt R$时，$f(x,y)=0$，则$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dx = 0$。
    • 当$\vert y\vert\leqslant R$时，由$x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}$可得$-\sqrt{R^{2}-y^{2}}\leqslant x\leqslant\sqrt{R^{2}-y^{2}}$，此时$f(x,y)=\frac{1}{\pi R^{2}}$，则$f_Y(y)=\int_{-\sqrt{R^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}}\frac{1}{\pi R^{2}}dx$。
      根据定积分的计算法则可得$f_Y(y)=\frac{1}{\pi R^{2}}\cdot\left[x\right]_{-\sqrt{R^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}}=\frac{1}{\pi R^{2}}\cdot\left(\sqrt{R^{2}-y^{2}} - (-\sqrt{R^{2}-y^{2}})\right)=\frac{2}{\pi R^{2}}\sqrt{R^{2}-y^{2}}$。
      综上，$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{2}{\pi R^{2}}\sqrt{R^{2}-y^{2}},&\vert y\vert\leqslant R\\0,&\vert y\vert\gt R\end{cases}$。
  4. 判断$X$与$Y$是否相互独立：
    若$X$与$Y$相互独立，则$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。
    当$x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2}$时，$f_X(x)f_Y(y)=\frac{2}{\pi R^{2}}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\cdot\frac{2}{\pi R^{2}}\sqrt{R^{2}-y^{2}}\neq\frac{1}{\pi R^{2}} = f(x,y)$。
    所以$X$与$Y$不相互独立。