题目
3.9 设函数 (x)=dfrac (sin (x-1))({x)^2-1}, 则 () .-|||-(A) x=-1 为可去间断点, x=1 为无穷间断点-|||-(B) x=-1 为无穷间断点, x=1 为可去间断点-|||-(C) x=-1 和 x=1 均为可去间断点-|||-(D) x=-1 和 x=1 均为无穷间断点
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的间断点
函数 $f(x)=\dfrac {\sin (x-1)}{{x}^{2}-1}$ 在分母为零时无定义，即 ${x}^{2}-1=0$ 时，解得 $x=-1$ 和 $x=1$。因此，$x=-1$ 和 $x=1$ 是函数的间断点。
步骤 2：分析 $x=-1$ 处的间断点类型
计算 $\lim _{x\rightarrow -1}f(x)$，即 $\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {\sin (x-1)}{{x}^{2}-1}$。由于分母在 $x=-1$ 时为零，而分子 $\sin (x-1)$ 在 $x=-1$ 时为 $\sin (-2)$，不为零，因此 $\lim _{x\rightarrow -1}f(x)$ 不存在且趋向于无穷大，故 $x=-1$ 为无穷间断点。
步骤 3：分析 $x=1$ 处的间断点类型
计算 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$，即 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sin (x-1)}{{x}^{2}-1}$。由于 ${x}^{2}-1=(x-1)(x+1)$，可以将原式改写为 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sin (x-1)}{(x-1)(x+1)}$。由于 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sin (x-1)}{x-1}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {1}{x+1}=\dfrac {1}{2}$，故 $x=1$ 为可去间断点。
函数 $f(x)=\dfrac {\sin (x-1)}{{x}^{2}-1}$ 在分母为零时无定义，即 ${x}^{2}-1=0$ 时，解得 $x=-1$ 和 $x=1$。因此，$x=-1$ 和 $x=1$ 是函数的间断点。
步骤 2：分析 $x=-1$ 处的间断点类型
计算 $\lim _{x\rightarrow -1}f(x)$，即 $\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {\sin (x-1)}{{x}^{2}-1}$。由于分母在 $x=-1$ 时为零，而分子 $\sin (x-1)$ 在 $x=-1$ 时为 $\sin (-2)$，不为零，因此 $\lim _{x\rightarrow -1}f(x)$ 不存在且趋向于无穷大，故 $x=-1$ 为无穷间断点。
步骤 3：分析 $x=1$ 处的间断点类型
计算 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$，即 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sin (x-1)}{{x}^{2}-1}$。由于 ${x}^{2}-1=(x-1)(x+1)$，可以将原式改写为 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sin (x-1)}{(x-1)(x+1)}$。由于 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sin (x-1)}{x-1}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {1}{x+1}=\dfrac {1}{2}$，故 $x=1$ 为可去间断点。