题目
44.（判断题，1.0分）函数f(x,y)=|x|+|y|在原点处偏导数存在。A 对B 错
44.（判断题，1.0分）
函数$f(x,y)=|x|+|y|$在原点处偏导数存在。
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断函数 $ f(x, y) = |x| + |y| $ 在原点处偏导数是否存在，我们需要分别计算 $ f $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数在原点处的值。如果这两个偏导数都存在，那么函数在原点处偏导数存在。
### 计算关于 $ x $ 的偏导数
函数 $ f(x, y) $ 关于 $ x $ 的偏导数定义为：
\[
f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}
\]
首先，我们计算 $ f(h, 0) $ 和 $ f(0, 0) $：
\[
f(h, 0) = |h| + |0| = |h|
\]
\[
f(0, 0) = |0| + |0| = 0
\]
因此，偏导数的表达式变为：
\[
f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}
\]
这个极限的值取决于 $ h $ 的符号。当 $ h $ 从正方向趋近于 0 时， $ |h| = h $，所以：
\[
\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1
\]
当 $ h $ 从负方向趋近于 0 时， $ |h| = -h $，所以：
\[
\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1
\]
由于左极限和右极限不相等，极限 $\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ 不存在。因此， $ f_x(0, 0) $ 不存在。
### 计算关于 $ y $ 的偏导数
函数 $ f(x, y) $ 关于 $ y $ 的偏导数定义为：
\[
f_y(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0, h) - f(0, 0)}{h}
\]
首先，我们计算 $ f(0, h) $ 和 $ f(0, 0) $：
\[
f(0, h) = |0| + |h| = |h|
\]
\[
f(0, 0) = |0| + |0| = 0
\]
因此，偏导数的表达式变为：
\[
f_y(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}
\]
我们已经知道这个极限不存在。因此， $ f_y(0, 0) $ 不存在。
### 结论
由于 $ f_x(0, 0) $ 和 $ f_y(0, 0) $ 都不存在，函数 $ f(x, y) = |x| + |y| $ 在原点处偏导数不存在。
答案是 $\boxed{B}$。
解析
考查要点：本题主要考查二元函数在某一点处偏导数的存在性判断，特别是涉及绝对值函数在原点处的可导性问题。
解题核心思路：
- 偏导数的定义：分别计算函数在原点处关于$x$和$y$的偏导数，判断极限是否存在。
- 绝对值函数的特性：当变量趋近于0时，绝对值函数会导致左右极限不相等，从而使得偏导数的极限不存在。
破题关键点：
- 单边极限分析：通过分析$h$从正方向和负方向趋近于0时的极限值，发现左右极限不相等，从而得出偏导数不存在的结论。
计算关于$x$的偏导数$f_x(0,0)$
根据偏导数定义：
$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$
- 当$h \to 0^+$：$|h| = h$，极限值为$\frac{h}{h} = 1$。
- 当$h \to 0^-$：$|h| = -h$，极限值为$\frac{-h}{h} = -1$。
结论：左右极限不相等，故$f_x(0,0)$不存在。
计算关于$y$的偏导数$f_y(0,0)$
根据偏导数定义：
$f_y(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$
同理，左右极限分别为$1$和$-1$，故$f_y(0,0)$也不存在。
最终结论：由于两个偏导数均不存在，原题说法错误。