4.(单选题) 幂级数sum_(n=1)^infty((x-1)^n)/(2^n)的收敛域为（）A. xin(-1,3];B. xin[-1,3].C. xin(-1,3);D. xin[-1,3);

本题考查幂级数收敛域的求解，解题思路是先求出幂级数的收敛半径，再判断收敛区间端点处的敛散性，进而确定收敛域。

1. 求幂级数的收敛半径$R$：
   对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n(x - x_0)^n$（本题中$a_n=\frac{1}{2^n}$，$x_0 = 1$），可使用比值判别法求收敛半径$R$。
   根据比值判别法，计算$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right|$的值：
   已知$a_n=\frac{1}{2^n}$，$a_{n + 1}=\frac{1}{2^{n + 1}}$，则$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{1}{2^{n + 1}}}{\frac{1}{2^n}}\right|$。
   根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，可得$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{1}{2^{n + 1}}}{\frac{1}{2^n}}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{1}{2^{n + 1}}\times 2^n\right|$。
   根据指数运算法则$a^m\times a^n=a^{m + n}$，可得$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{1}{2^{n + 1}}\times 2^n\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{2^n}{2^{n + 1}}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$。
   由收敛半径的计算公式$R = \frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right|}$，可得$R = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
2. 确定收敛区间：
   已知收敛半径$R = 2$，$x_0 = 1$，则收敛区间为$(x_0 - R, x_0 + R)$，即$(1 - 2, 1 + 2)$，也就是$(-1, 3)$。
3. 判断端点处的敛散性：
   • 当$x = -1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1 - 1)^{n}}{2^{n}}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{2^{n}}=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}$。
     根据级数收敛的必要条件，若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_n$收敛，则$\lim\limits_{n \to \infty}u_n = 0$。
     对于$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}$，$\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^{n}$不存在，不满足级数收敛的必要条件，所以该级数发散。
   • 当$x = 3$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(3 - 1)^{n}}{2^{n}}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}}=\sum_{n = 1}^{\infty}1$。
     同样根据级数收敛的必要条件，$\lim\limits_{n \to \infty}1 = 1\neq 0$，所以该级数发散。

综上，幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(x - 1)^{n}}{2^{n}}$的收敛域为$(-1, 3)$。