题目
如图所示一质量为M的木块置于倔强系数为K的弹簧上,系统处于静止状态,一团质量为m的粘土自木块上方高h处由静止自由下落并与木块粘在一起运动.试求: m-|||-h-|||-o-|||-K(1)碰后瞬时系统的速度；(2)木块的最大位移(写明系统划分及势能零点) 。
如图所示一质量为M的木块置于倔强系数为K的弹簧上,系统处于静止状态,一团质量为m的粘土自木块上方高h处由静止自由下落并与木块粘在一起运动.试求:
(1)碰后瞬时系统的速度；
(2)木块的最大位移(写明系统划分及势能零点) 。
题目解答
答案
(1)小球m和M木板系统在碰后瞬时动量守恒
$$2gh=v_m^2$$
解得：$$v_m=\sqrt{2gh} $$
$$mv_m=(m+M)v_{共}$$
$$v_{共}={{m\sqrt{2gh} }\over{m+M} }$$
(2)当$$(m+M)g=k\Delta x$$时，木板和球开始减速
即$$k\cdot d={{1}\over{2} }(m+M)v_共^2$$
解得：$$d={{m^2gh}\over{k(m+M)} }$$
所以最大位移为$${m^2gh}\over{k(m+M)} $$
解析
步骤 1：确定碰后瞬时系统的速度
粘土和木块碰撞瞬间，动量守恒。粘土下落过程中，机械能守恒，可以求出粘土与木块碰撞前的速度。设粘土与木块碰撞前的速度为$v_m$，则有：
$$mgh = \frac{1}{2}mv_m^2$$
解得：
$$v_m = \sqrt{2gh}$$
碰撞后，粘土与木块粘在一起，设共同速度为$v_{共}$，则有：
$$mv_m = (m+M)v_{共}$$
解得：
$$v_{共} = \frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}$$
步骤 2：确定木块的最大位移
木块与粘土粘在一起后，系统在竖直方向上受到重力和弹簧弹力的作用。当木块达到最大位移时，其速度为零，此时弹簧的弹力等于木块和粘土的重力之和。设最大位移为$d$，则有：
$$(m+M)g = k\Delta x$$
其中，$\Delta x$为弹簧的伸长量，即最大位移$d$。因此，有：
$$k\cdot d = \frac{1}{2}(m+M)v_{共}^2$$
解得：
$$d = \frac{m^2gh}{k(m+M)}$$
粘土和木块碰撞瞬间，动量守恒。粘土下落过程中，机械能守恒，可以求出粘土与木块碰撞前的速度。设粘土与木块碰撞前的速度为$v_m$，则有：
$$mgh = \frac{1}{2}mv_m^2$$
解得：
$$v_m = \sqrt{2gh}$$
碰撞后，粘土与木块粘在一起，设共同速度为$v_{共}$，则有：
$$mv_m = (m+M)v_{共}$$
解得：
$$v_{共} = \frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}$$
步骤 2：确定木块的最大位移
木块与粘土粘在一起后，系统在竖直方向上受到重力和弹簧弹力的作用。当木块达到最大位移时，其速度为零，此时弹簧的弹力等于木块和粘土的重力之和。设最大位移为$d$，则有：
$$(m+M)g = k\Delta x$$
其中，$\Delta x$为弹簧的伸长量，即最大位移$d$。因此，有：
$$k\cdot d = \frac{1}{2}(m+M)v_{共}^2$$
解得：
$$d = \frac{m^2gh}{k(m+M)}$$