题目
甲乙丙三人独立地向某一飞机射击,他们的射击水平相当,命中率都是 0.4 . 若三人中有一人击中,则飞机被击落的概率为 0.2 ;若三人中有两人同时击中,则飞机被击落的概率为 0.5 ;若三人都击中,则飞机必被击落 . 求飞机被击落的概率 .
甲乙丙三人独立地向某一飞机射击,他们的射击水平相当,命中率都是 0.4 . 若三人中有一人击中,则飞机被击落的概率为 0.2 ;若三人中有两人同时击中,则飞机被击落的概率为 0.5 ;若三人都击中,则飞机必被击落 . 求飞机被击落的概率 .
题目解答
答案
解:设 B 表示飞机被击中, A i 表示三人中恰有 i 个人击中, i =1,2,3.
由题设知:
,
.
.
由全概率公式,得
解析
步骤 1：定义事件
设 B 表示飞机被击中，A_i 表示三人中恰有 i 个人击中，i = 0, 1, 2, 3。其中 A_0 表示没有人击中，A_1 表示有一人击中，A_2 表示有两人击中，A_3 表示三人都击中。
步骤 2：计算各事件的概率
根据题设，每个人击中的概率为 0.4，未击中的概率为 0.6。因此，可以计算出：
$P(A_0) = 0.6^3 = 0.216$
$P(A_1) = C_3^1 \cdot 0.4 \cdot 0.6^2 = 0.432$
$P(A_2) = C_3^2 \cdot 0.4^2 \cdot 0.6 = 0.288$
$P(A_3) = 0.4^3 = 0.064$
步骤 3：计算条件概率
根据题设，可以得到：
$P(B|A_0) = 0$
$P(B|A_1) = 0.2$
$P(B|A_2) = 0.5$
$P(B|A_3) = 1$
步骤 4：应用全概率公式
根据全概率公式，飞机被击落的概率为：
$P(B) = P(A_0)P(B|A_0) + P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$
$= 0.216 \times 0 + 0.432 \times 0.2 + 0.288 \times 0.5 + 0.064 \times 1$
$= 0.2944$
设 B 表示飞机被击中，A_i 表示三人中恰有 i 个人击中，i = 0, 1, 2, 3。其中 A_0 表示没有人击中，A_1 表示有一人击中，A_2 表示有两人击中，A_3 表示三人都击中。
步骤 2：计算各事件的概率
根据题设，每个人击中的概率为 0.4，未击中的概率为 0.6。因此，可以计算出：
$P(A_0) = 0.6^3 = 0.216$
$P(A_1) = C_3^1 \cdot 0.4 \cdot 0.6^2 = 0.432$
$P(A_2) = C_3^2 \cdot 0.4^2 \cdot 0.6 = 0.288$
$P(A_3) = 0.4^3 = 0.064$
步骤 3：计算条件概率
根据题设，可以得到：
$P(B|A_0) = 0$
$P(B|A_1) = 0.2$
$P(B|A_2) = 0.5$
$P(B|A_3) = 1$
步骤 4：应用全概率公式
根据全概率公式，飞机被击落的概率为：
$P(B) = P(A_0)P(B|A_0) + P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$
$= 0.216 \times 0 + 0.432 \times 0.2 + 0.288 \times 0.5 + 0.064 \times 1$
$= 0.2944$