求齐次线性方程组 ) (x)_(1)+2(x)_(2)+(x)_(3)-(x)_(4)=0 3(x)_(1)+6(x)_(2)-(x)_(3)-3(x)_(4)=0 5(x)_(1)+10(x)_(2)+(x)_(3) .的通解.

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组的通解求解，涉及系数矩阵的初等行变换、阶梯形矩阵化简、自由变量的确定以及基础解系的构造。

解题核心思路：

1. 将系数矩阵化为行最简形，确定主变量和自由变量。
2. 用自由变量表示主变量，写出通解的表达式。
3. 基础解系的构造需保证线性无关且个数等于解空间的维数（即自由变量的个数）。

破题关键点：

• 正确进行初等行变换，确保矩阵化简无误。
• 准确识别自由变量，并合理选择参数表示解。

步骤1：写出系数矩阵并化简
原方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\3 & 6 & -1 & -3 \\5 & 10 & 1 & 0\end{bmatrix}$

通过初等行变换化简：

1. 第二行减去3倍第一行：$R2 \leftarrow R2 - 3R1$，得 $[0, 0, -4, 0]$。
2. 第三行减去5倍第一行：$R3 \leftarrow R3 - 5R1$，得 $[0, 0, -4, 5]$。
3. 第三行减去第二行：$R3 \leftarrow R3 - R2$，得 $[0, 0, 0, 5]$。
4. 第二行除以$-4$，第三行除以$5$，得：
   $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
5. 第一行加上第三行：$R1 \leftarrow R1 + R3$，得 $[1, 2, 1, 0]$。
6. 第一行减去第二行：$R1 \leftarrow R1 - R2$，得行最简形：
   $\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

步骤2：确定方程组的解结构
对应的方程组为：
$\begin{cases}x_1 + 2x_2 = 0 \\x_3 = 0 \\x_4 = 0\end{cases}$
主变量为$x_1, x_3, x_4$，自由变量为$x_2$，设为参数$k$。

步骤3：构造基础解系
令$x_2 = k$，则：
$x_1 = -2k, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 0$
基础解系为向量$(-2, 1, 0, 0)$。