1.填空题甲、乙文具盒内都有2支蓝色笔和3支黑色笔，现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔，则最后取出的2支笔是黑色笔的概率为____.(用分数表示)第1空：

考查要点：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，需要分情况讨论从甲盒取出不同颜色组合的笔后，乙盒中黑色笔数量的变化，进而计算最终取出两支黑色笔的总概率。

解题核心思路：

1. 分类讨论：根据从甲盒取出的两支笔的颜色组合（两蓝、两黑、一蓝一黑），分别计算每种情况发生的概率。
2. 动态调整乙盒笔数：每种情况下乙盒的笔数和颜色分布会变化，需重新计算从乙盒取两黑笔的概率。
3. 加权求和：将每种情况的概率与对应条件下的目标概率相乘，最后求和得到总概率。

破题关键点：

• 正确计算组合数：如甲盒取两支笔的组合数，乙盒取两支黑笔的组合数。
• 注意分母变化：乙盒在接收甲盒的笔后，总笔数变为7支，需重新计算组合数。

步骤1：分析甲盒取出两支笔的可能情况

甲盒初始有2支蓝色笔和3支黑色笔，共5支笔。取出2支笔的组合数为：
$C(5,2) = 10$
可能的取出情况及概率如下：

1. 两蓝：组合数为$C(2,2)=1$，概率为$\frac{1}{10}$。
2. 两黑：组合数为$C(3,2)=3$，概率为$\frac{3}{10}$。
3. 一蓝一黑：组合数为$C(2,1) \times C(3,1)=6$，概率为$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

步骤2：计算乙盒中取两黑笔的概率

根据甲盒取出的不同情况，乙盒的笔数变化如下：

1. 甲盒取出两蓝：乙盒变为4蓝3黑，总笔数7支。
   取两黑的概率为：
   $\frac{C(3,2)}{C(7,2)} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$
2. 甲盒取出两黑：乙盒变为2蓝5黑，总笔数7支。
   取两黑的概率为：
   $\frac{C(5,2)}{C(7,2)} = \frac{10}{21}$
3. 甲盒取出一蓝一黑：乙盒变为3蓝4黑，总笔数7支。
   取两黑的概率为：
   $\frac{C(4,2)}{C(7,2)} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

步骤3：全概率公式求和

将每种情况的概率与对应条件下的目标概率相乘，再相加：
$\begin{aligned}\text{总概率} &= \frac{1}{10} \times \frac{1}{7} + \frac{3}{10} \times \frac{10}{21} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} \\&= \frac{1}{70} + \frac{30}{210} + \frac{6}{35} \\&= \frac{1}{70} + \frac{10}{70} + \frac{12}{70} \\&= \frac{23}{70}\end{aligned}$