题目

5.简答题2.设齐次线性方程组}x_(1)+kx_(2)+x_(3)=0kx_(1)+x_(2)-x_(3)=02x_(1)+x_(2)+x_(3)=0问k取何值时，方程组只有零解？k取何值时，方程组有非零解？

5.简答题 2.设齐次线性方程组$\begin{cases}x_{1}+kx_{2}+x_{3}=0\\kx_{1}+x_{2}-x_{3}=0\\2x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\end{cases}$ 问k取何值时，方程组只有零解？k取何值时，方程组有非零解？

题目解答

答案

系数矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 计算行列式： \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times (1 \times 1 - (-1) \times 1) - k \times (k \times 1 - (-1) \times 2) + 1 \times (k \times 1 - 1 \times 2) = 1 \times 2 - k \times (k + 2) + 1 \times (k - 2) = 2 - k^2 - 2k + k - 2 = -k^2 - k = -k(k + 1) \] 当 $\det(A) \neq 0$，即 $k \neq 0$ 且 $k \neq -1$ 时，方程组只有零解。 当 $\det(A) = 0$，即 $k = 0$ 或 $k = -1$ 时，方程组有非零解。 **答案：** 当 $k \neq 0$ 且 $k \neq -1$ 时，方程组只有零解； 当 $k = 0$ 或 $k = -1$ 时，方程组有非零解。

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的情况判断，核心在于系数矩阵的行列式是否为零。

解题思路：

  1. 齐次方程组只有零解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于零；
  2. 存在非零解的充要条件是系数矩阵的行列式等于零；
  3. 因此，只需计算系数矩阵的行列式，求出其值为零时的$k$值即可。

破题关键：

  • 正确写出系数矩阵；
  • 准确计算三阶行列式的值；
  • 解方程$\det(A)=0$得到$k$的取值。

步骤1：写出系数矩阵
方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}1 & k & 1 \\k & 1 & -1 \\2 & 1 & 1\end{pmatrix}$

步骤2：计算行列式$\det(A)$
按第一行展开：
$\begin{aligned}\det(A) &= 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} - k \cdot \begin{vmatrix}k & -1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}k & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - k \cdot (k \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + 1 \cdot (k \cdot 1 - 1 \cdot 2) \\ &= 1 \cdot 2 - k \cdot (k + 2) + 1 \cdot (k - 2) \\ &= 2 - k^2 - 2k + k - 2 \\ &= -k^2 - k \\ &= -k(k + 1) \end{aligned}$

步骤3：分析行列式的值

  • 当$\det(A) \neq 0$时，即$-k(k + 1) \neq 0$，解得$k \neq 0$且$k \neq -1$，方程组只有零解；
  • 当$\det(A) = 0$时，即$k = 0$或$k = -1$，方程组有非零解。