题目
求由曲线y=1-(x)^2与直线x+y-1=0所围成的平面图形的面积及该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
求由曲线$y=1-{x}^{2}$与直线$x+y-1=0$所围成的平面图形的面积及该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要找到曲线$y=1-{x}^{2}$与直线$x+y-1=0$的交点。将直线方程$x+y-1=0$改写为$y=1-x$，然后将$y=1-x$代入$y=1-{x}^{2}$中，得到$1-x=1-{x}^{2}$，即${x}^{2}-x=0$。解这个方程，得到$x=0$或$x=1$。因此，交点为$(0,1)$和$(1,0)$。
步骤 2：计算面积
接下来，我们计算由这两条曲线围成的平面图形的面积。面积$S$可以通过积分计算，即$S=\int_{0}^{1}[(1-x)-(1-{x}^{2})]dx$。计算这个积分，得到$S=\int_{0}^{1}({x}^{2}-x)dx=[\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$。由于面积不能为负，所以面积$S=\frac{1}{6}$。
步骤 3：计算旋转体体积
最后，我们计算该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。体积$V$可以通过积分计算，即$V=\pi\int_{0}^{1}[(1-{x}^{2})^{2}-(1-x)^{2}]dx$。计算这个积分，得到$V=\pi\int_{0}^{1}[(1-2{x}^{2}+{x}^{4})-(1-2x+{x}^{2})]dx=\pi\int_{0}^{1}({x}^{4}-3{x}^{2}+2x)dx=\pi[\frac{1}{5}{x}^{5}-{x}^{3}+{x}^{2}]_{0}^{1}=\pi(\frac{1}{5}-1+1)=\frac{1}{5}\pi$。
首先，我们需要找到曲线$y=1-{x}^{2}$与直线$x+y-1=0$的交点。将直线方程$x+y-1=0$改写为$y=1-x$，然后将$y=1-x$代入$y=1-{x}^{2}$中，得到$1-x=1-{x}^{2}$，即${x}^{2}-x=0$。解这个方程，得到$x=0$或$x=1$。因此，交点为$(0,1)$和$(1,0)$。
步骤 2：计算面积
接下来，我们计算由这两条曲线围成的平面图形的面积。面积$S$可以通过积分计算，即$S=\int_{0}^{1}[(1-x)-(1-{x}^{2})]dx$。计算这个积分，得到$S=\int_{0}^{1}({x}^{2}-x)dx=[\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$。由于面积不能为负，所以面积$S=\frac{1}{6}$。
步骤 3：计算旋转体体积
最后，我们计算该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。体积$V$可以通过积分计算，即$V=\pi\int_{0}^{1}[(1-{x}^{2})^{2}-(1-x)^{2}]dx$。计算这个积分，得到$V=\pi\int_{0}^{1}[(1-2{x}^{2}+{x}^{4})-(1-2x+{x}^{2})]dx=\pi\int_{0}^{1}({x}^{4}-3{x}^{2}+2x)dx=\pi[\frac{1}{5}{x}^{5}-{x}^{3}+{x}^{2}]_{0}^{1}=\pi(\frac{1}{5}-1+1)=\frac{1}{5}\pi$。