题目
int xe^2xd x= ( )A. dfrac (xe^2x)(2)-dfrac (e^2x)(4)+CB. dfrac (xe^2x)(2)-dfrac (e^2x)(2)+CC. dfrac (xe^2x)(2)+dfrac (e^2x)(4)+CD. dfrac (xe^2x)(2)+dfrac (e^2x)(2)+CE. dfrac (x^2e^2x)(4)+C
$\int xe^{2x}\d x=$ ( )
A. $\dfrac {xe^{2x}}{2}-\dfrac {e^{2x}}{4}+C$
B. $\dfrac {xe^{2x}}{2}-\dfrac {e^{2x}}{2}+C$
C. $\dfrac {xe^{2x}}{2}+\dfrac {e^{2x}}{4}+C$
D. $\dfrac {xe^{2x}}{2}+\dfrac {e^{2x}}{2}+C$
E. $\dfrac {x^{2}e^{2x}}{4}+C$
题目解答
答案
A. $\dfrac {xe^{2x}}{2}-\dfrac {e^{2x}}{4}+C$
解析
步骤 1：使用分部积分法
分部积分法的公式是 $\int u\d v = uv - \int v\d u$。这里，我们选择 $u = x$ 和 $\d v = e^{2x}\d x$。因此，$\d u = \d x$ 和 $v = \dfrac{1}{2}e^{2x}$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，得到 $\int xe^{2x}\d x = x\cdot\dfrac{1}{2}e^{2x} - \int \dfrac{1}{2}e^{2x}\d x$。
步骤 3：计算剩余的积分
计算 $\int \dfrac{1}{2}e^{2x}\d x$，得到 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}e^{2x} = \dfrac{1}{4}e^{2x}$。
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合起来，得到 $\int xe^{2x}\d x = \dfrac{1}{2}xe^{2x} - \dfrac{1}{4}e^{2x} + C$。
分部积分法的公式是 $\int u\d v = uv - \int v\d u$。这里，我们选择 $u = x$ 和 $\d v = e^{2x}\d x$。因此，$\d u = \d x$ 和 $v = \dfrac{1}{2}e^{2x}$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，得到 $\int xe^{2x}\d x = x\cdot\dfrac{1}{2}e^{2x} - \int \dfrac{1}{2}e^{2x}\d x$。
步骤 3：计算剩余的积分
计算 $\int \dfrac{1}{2}e^{2x}\d x$，得到 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}e^{2x} = \dfrac{1}{4}e^{2x}$。
步骤 4：组合结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果组合起来，得到 $\int xe^{2x}\d x = \dfrac{1}{2}xe^{2x} - \dfrac{1}{4}e^{2x} + C$。