1.将两封信随机投入3个空邮筒,设X、Y分别表示第1,2个邮筒中信的-|||-数量,求X和Y的联合概率分布,并求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率.

考查要点：本题主要考查联合概率分布的求解以及事件概率的计算，涉及离散型随机变量的联合分布和事件转化。

解题核心思路：

1. 确定可能取值：根据两封信的分配方式，列出所有可能的$(X,Y)$组合，满足$X + Y \leq 2$。
2. 计算联合概率：通过枚举所有可能的投信方式，统计每种$(X,Y)$组合出现的次数，计算概率。
3. 事件转化：将“第三个邮筒至少有一封信”转化为$X + Y \leq 1$，再结合联合分布求和。

破题关键点：

• 总投法数：每封信有3种选择，总共有$3^2 = 9$种等可能情况。
• 联合分布的枚举：需注意$X$和$Y$的取值范围及约束条件$X + Y \leq 2$。
• 事件转化：利用总信数为2，将第三个邮筒的信数表示为$2 - X - Y$，从而建立条件关系。

联合概率分布的求解

1. 可能的$(X,Y)$组合：

   • $X$和$Y$均为非负整数，且$X + Y \leq 2$。
   • 共有6种可能的组合：$(0,0)$, $(0,1)$, $(0,2)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(2,0)$。

2. 计算每种组合的概率：

   • $(0,0)$：两封信均投入第3个邮筒，仅1种方式，概率为$\dfrac{1}{9}$。
   • $(0,1)$：一封信投入第2个邮筒，另一封投入第3个邮筒，共2种方式，概率为$\dfrac{2}{9}$。
   • $(0,2)$：两封信均投入第2个邮筒，仅1种方式，概率为$\dfrac{1}{9}$。
   • $(1,0)$：一封信投入第1个邮筒，另一封投入第3个邮筒，共2种方式，概率为$\dfrac{2}{9}$。
   • $(1,1)$：两封信分别投入第1和第2个邮筒，共2种方式，概率为$\dfrac{2}{9}$。
   • $(2,0)$：两封信均投入第1个邮筒，仅1种方式，概率为$\dfrac{1}{9}$。

第3个邮筒至少有1封信的概率

1. 事件转化：第3个邮筒的信数为$2 - X - Y$，要求$2 - X - Y \geq 1$，即$X + Y \leq 1$。
2. 符合条件的组合：
   • $(0,0)$：概率$\dfrac{1}{9}$。
   • $(0,1)$：概率$\dfrac{2}{9}$。
   • $(1,0)$：概率$\dfrac{2}{9}$。
3. 概率求和：$\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9}$。