题目
若 z^2 = (overline(z) )^2，则必有() A. z = 0 B. Re z = 0 C. Im z = 0 D. Re z cdot Im z = 0
$$ 若 $z^2\ \ = (\overline{z}\ \ )^2$，则必有() $$
A. $z = 0 $
B. $Re z = 0 $
C. $Im z = 0 $
D. $$ $Re z \cdot Im z = 0$ $$
题目解答
答案
D. $$ $Re z \cdot Im z = 0$ $$
解析
步骤 1：设 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是 $z$ 的实部和虚部。
根据复数的定义，$z$ 的共轭复数 $\overline{z} = a - bi$。
步骤 2：计算 $z^2$ 和 $(\overline{z})^2$。
$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2$，
$(\overline{z})^2 = (a - bi)^2 = a^2 - 2abi - b^2$。
步骤 3：根据题目条件 $z^2 = (\overline{z})^2$，我们有：
$a^2 + 2abi - b^2 = a^2 - 2abi - b^2$。
这意味着 $2abi = -2abi$，从而得到 $4abi = 0$。
由于 $i$ 不为零，因此 $ab = 0$，即 $Re z \cdot Im z = 0$。
根据复数的定义，$z$ 的共轭复数 $\overline{z} = a - bi$。
步骤 2：计算 $z^2$ 和 $(\overline{z})^2$。
$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2$，
$(\overline{z})^2 = (a - bi)^2 = a^2 - 2abi - b^2$。
步骤 3：根据题目条件 $z^2 = (\overline{z})^2$，我们有：
$a^2 + 2abi - b^2 = a^2 - 2abi - b^2$。
这意味着 $2abi = -2abi$，从而得到 $4abi = 0$。
由于 $i$ 不为零，因此 $ab = 0$，即 $Re z \cdot Im z = 0$。