题目
下列各式中正确的是下列各式中正确的是
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：分析选项 (A) 和 (B)
$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}$ 可以通过变量替换 $t = \dfrac{1}{x}$ 来简化，当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，$t \rightarrow +\infty$。因此，原极限可以写成 $\lim _{t\rightarrow +\infty }{(1+t)}^{\dfrac {1}{t}}$。根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow +\infty }{(1+t)}^{\dfrac {1}{t}} = e^{0} = 1$，所以选项 (A) 正确，而选项 (B) 不正确。
步骤 2：分析选项 (C)
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}$ 可以通过变量替换 $t = -\dfrac{1}{x}$ 来简化，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0^{+}$。因此，原极限可以写成 $\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{\dfrac {1}{-t}}$。根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{\dfrac {1}{-t}} = e^{-1} \neq -e$，所以选项 (C) 不正确。
步骤 3：分析选项 (D)
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{-x}$ 可以通过变量替换 $t = \dfrac{1}{x}$ 来简化，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0^{+}$。因此，原极限可以写成 $\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{-\dfrac {1}{t}}$。根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{-\dfrac {1}{t}} = e^{-1} \neq e$，所以选项 (D) 不正确。
$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}$ 可以通过变量替换 $t = \dfrac{1}{x}$ 来简化，当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，$t \rightarrow +\infty$。因此，原极限可以写成 $\lim _{t\rightarrow +\infty }{(1+t)}^{\dfrac {1}{t}}$。根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow +\infty }{(1+t)}^{\dfrac {1}{t}} = e^{0} = 1$，所以选项 (A) 正确，而选项 (B) 不正确。
步骤 2：分析选项 (C)
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}$ 可以通过变量替换 $t = -\dfrac{1}{x}$ 来简化，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0^{+}$。因此，原极限可以写成 $\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{\dfrac {1}{-t}}$。根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{\dfrac {1}{-t}} = e^{-1} \neq -e$，所以选项 (C) 不正确。
步骤 3：分析选项 (D)
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{-x}$ 可以通过变量替换 $t = \dfrac{1}{x}$ 来简化，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0^{+}$。因此，原极限可以写成 $\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{-\dfrac {1}{t}}$。根据极限的定义，$\lim _{t\rightarrow 0^{+}}{(1+t)}^{-\dfrac {1}{t}} = e^{-1} \neq e$，所以选项 (D) 不正确。