4.设随机变量 sim U(0,1), 求 =(e)^x 的概率密度.

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解，涉及均匀分布的性质及分布函数法的应用。

解题核心思路：

1. 确定Y的取值范围：由$Y = e^X$及$X \sim U(0,1)$，可知$Y$的取值范围为$(1, e)$。
2. 利用分布函数法：通过求$Y$的分布函数$F_Y(y)$，再对其求导得到概率密度$f_Y(y)$。
3. 变量变换的导数修正：注意在概率密度转换时，需乘以雅可比行列式的绝对值，即$\left| \frac{d}{dy} (\ln y) \right| = \frac{1}{y}$。

破题关键点：

• 单调性：$Y = e^X$是严格单调递增函数，保证反函数存在。
• 积分区间转换：将$P(Y \leq y)$转换为$P(X \leq \ln y)$，并结合$X$的密度函数计算积分。

步骤1：确定Y的取值范围

由$Y = e^X$且$X \in (0,1)$，得$Y \in (e^0, e^1) = (1, e)$。因此，当$y \notin (1, e)$时，$f_Y(y) = 0$。

步骤2：求分布函数$F_Y(y)$

当$y \in (1, e)$时：
$\begin{aligned}F_Y(y) &= P(Y \leq y) = P(e^X \leq y) = P(X \leq \ln y) \\&= \int_{-\infty}^{\ln y} f_X(x) \, dx.\end{aligned}$
由于$X \sim U(0,1)$，$f_X(x) = 1$当$x \in [0,1]$，否则为0。因此：
$F_Y(y) = \int_{0}^{\ln y} 1 \, dx = \ln y \quad (1 < y < e).$

步骤3：求概率密度$f_Y(y)$

对$F_Y(y)$求导：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (\ln y) = \frac{1}{y} \quad (1 < y < e).$
结合定义域，最终结果为：
$f_Y(y) = \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{y}, & 1 < y < e, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$