题目
设alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且A的秩R A. =3，alpha_(1)=(1,2,3,4)^T，alpha_(2)+alpha_(3)=(0,1,2,3)^T，k为任意常数，则线性方程组Ax=b的通解为（）。A. x=k(1,1,1,1)^T+alpha_(1)B. x=k(0,1,2,3)^T+alpha_(1)C. x=k(2,3,4,5)^T+alpha_(1)D. x=k(3,4,5,6)^T+alpha_(1)
设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是四元非齐次线性方程组$Ax=b$的三个解向量，且$A$的秩$R
- A. =3$，$\alpha_{1}=(1,2,3,4)^{T}$，$\alpha_{2}+\alpha_{3}=(0,1,2,3)^{T}$，$k$为任意常数，则线性方程组$Ax=b$的通解为（）。
- A. $x=k(1,1,1,1)^{T}+\alpha_{1}$
- B. $x=k(0,1,2,3)^{T}+\alpha_{1}$
- C. $x=k(2,3,4,5)^{T}+\alpha_{1}$
- D. $x=k(3,4,5,6)^{T}+\alpha_{1}$
题目解答
答案
已知 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的解，且 $R(A) = 3$，则齐次方程组 $Ax = 0$ 的解空间维数为1。
由 $\alpha_1 = (1, 2, 3, 4)^T$ 和 $\alpha_2 + \alpha_3 = (0, 1, 2, 3)^T$，构造向量
\[
\alpha_2 + \alpha_3 - 2\alpha_1 = (-2, -3, -4, -5)^T,
\]
该向量为齐次方程组的解，等价于 $(2, 3, 4, 5)^T$。
因此，齐次方程组的基础解系为 $(2, 3, 4, 5)^T$，非齐次方程组的通解为
\[
x = k(2, 3, 4, 5)^T + \alpha_1.
\]
答案：$\boxed{C}$。
解析
步骤 1：确定齐次方程组的解空间维数
由于 $A$ 的秩 $R(A) = 3$，且 $A$ 是四元方程组，因此齐次方程组 $Ax = 0$ 的解空间维数为 $4 - 3 = 1$。这意味着齐次方程组的基础解系包含一个向量。
步骤 2：构造齐次方程组的解
已知 $\alpha_1 = (1, 2, 3, 4)^T$ 和 $\alpha_2 + \alpha_3 = (0, 1, 2, 3)^T$，构造向量 \[ \alpha_2 + \alpha_3 - 2\alpha_1 = (-2, -3, -4, -5)^T. \] 该向量为齐次方程组的解，等价于 $(2, 3, 4, 5)^T$。因此，齐次方程组的基础解系为 $(2, 3, 4, 5)^T$。
步骤 3：写出非齐次方程组的通解
非齐次方程组的通解为齐次方程组的通解加上非齐次方程组的一个特解。因此，非齐次方程组的通解为 \[ x = k(2, 3, 4, 5)^T + \alpha_1. \]
由于 $A$ 的秩 $R(A) = 3$，且 $A$ 是四元方程组，因此齐次方程组 $Ax = 0$ 的解空间维数为 $4 - 3 = 1$。这意味着齐次方程组的基础解系包含一个向量。
步骤 2：构造齐次方程组的解
已知 $\alpha_1 = (1, 2, 3, 4)^T$ 和 $\alpha_2 + \alpha_3 = (0, 1, 2, 3)^T$，构造向量 \[ \alpha_2 + \alpha_3 - 2\alpha_1 = (-2, -3, -4, -5)^T. \] 该向量为齐次方程组的解，等价于 $(2, 3, 4, 5)^T$。因此，齐次方程组的基础解系为 $(2, 3, 4, 5)^T$。
步骤 3：写出非齐次方程组的通解
非齐次方程组的通解为齐次方程组的通解加上非齐次方程组的一个特解。因此，非齐次方程组的通解为 \[ x = k(2, 3, 4, 5)^T + \alpha_1. \]