题目
求 (int )_(0)^dfrac (pi {2)}(e)^2xcos xdx
求 
题目解答
答案
依题意，计算
即，
解得，
解析
步骤 1：使用分部积分法
我们使用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是 ${\int }u dv = uv - {\int }v du$。我们设 $u = {e}^{2x}$ 和 $dv = \cos x dx$，则 $du = 2{e}^{2x} dx$ 和 $v = \sin x$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}2{e}^{2x}\sin xdx$
步骤 3：再次使用分部积分法
我们再次使用分部积分法来解决 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}2{e}^{2x}\sin xdx$。设 $u = 2{e}^{2x}$ 和 $dv = \sin x dx$，则 $du = 4{e}^{2x} dx$ 和 $v = -\cos x$。
步骤 4：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}2{e}^{2x}\sin xdx = -2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{e}^{2x}\cos xdx$
步骤 5：合并结果
将步骤 2 和步骤 4 的结果合并，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - (-2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{e}^{2x}\cos xdx)$
步骤 6：简化表达式
简化表达式，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + 2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{e}^{2x}\cos xdx$
步骤 7：解方程
将 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx$ 代入方程中，我们得到：
$5{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + 2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}$
步骤 8：计算定积分
计算定积分，我们得到：
$5{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{\pi } - 2$
步骤 9：求解
求解，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = \dfrac {{e}^{\pi } - 2}{5}$
我们使用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是 ${\int }u dv = uv - {\int }v du$。我们设 $u = {e}^{2x}$ 和 $dv = \cos x dx$，则 $du = 2{e}^{2x} dx$ 和 $v = \sin x$。
步骤 2：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}2{e}^{2x}\sin xdx$
步骤 3：再次使用分部积分法
我们再次使用分部积分法来解决 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}2{e}^{2x}\sin xdx$。设 $u = 2{e}^{2x}$ 和 $dv = \sin x dx$，则 $du = 4{e}^{2x} dx$ 和 $v = -\cos x$。
步骤 4：应用分部积分法
将 $u$ 和 $v$ 代入分部积分法的公式中，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}2{e}^{2x}\sin xdx = -2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{e}^{2x}\cos xdx$
步骤 5：合并结果
将步骤 2 和步骤 4 的结果合并，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - (-2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{e}^{2x}\cos xdx)$
步骤 6：简化表达式
简化表达式，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + 2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{e}^{2x}\cos xdx$
步骤 7：解方程
将 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx$ 代入方程中，我们得到：
$5{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{2x}\sin x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}} + 2{e}^{2x}\cos x|_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}$
步骤 8：计算定积分
计算定积分，我们得到：
$5{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = {e}^{\pi } - 2$
步骤 9：求解
求解，我们得到：
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{e}^{2x}\cos xdx = \dfrac {{e}^{\pi } - 2}{5}$