题目

2、计算二重积分iintlimits_(D)2xydx dy，其中D是由直线y=x，x+y=2，y=0所围成的闭区域.解：[图片]

2、计算二重积分$\iint\limits_{D}2xydx dy$，其中D是由直线y=x，x+y=2，y=0所围成的闭区域. 解： [图片]

题目解答

答案

为了计算二重积分$\iint\limits_{D}2xy \, dx \, dy$，其中$D$是由直线$y=x$，$x+y=2$，和$y=0$所围成的闭区域，我们首先需要确定区域$D$的边界。直线的交点如下： 1. $y=x$和$y=0$的交点是$(0,0)$。 2. $x+y=2$和$y=0$的交点是$(2,0)$。 3. $y=x$和$x+y=2$的交点是$(1,1)$。 区域$D$可以描述为$0 \leq y \leq 1$和$y \leq x \leq 2-y$。因此，二重积分可以写为： \[ \iint\limits_{D}2xy \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{y}^{2-y} 2xy \, dx \, dy \] 我们首先对$x$进行积分： \[ \int_{y}^{2-y} 2xy \, dx = 2y \int_{y}^{2-y} x \, dx = 2y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{y}^{2-y} = y \left[ (2-y)^2 - y^2 \right] = y \left[ 4 - 4y + y^2 - y^2 \right] = y (4 - 4y) = 4y - 4y^2 \] 接下来，我们对$y$进行积分： \[ \int_{0}^{1} (4y - 4y^2) \, dy = 4 \int_{0}^{1} y \, dy - 4 \int_{0}^{1} y^2 \, dy = 4 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} - 4 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = 4 \left[ \frac{1}{2} - 0 \right] - 4 \left[ \frac{1}{3} - 0 \right] = 4 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \] 因此，二重积分的值是$\boxed{\frac{2}{3}}$。

解析

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，重点在于确定积分区域和选择合适的积分顺序。
解题思路：

  1. 绘制积分区域D的图形，明确边界直线的交点，确定区域形状。
  2. 选择积分顺序：根据区域形状，选择先对$x$积分再对$y$积分，或反之。本题中选择$y$作为外积分变量更简便。
  3. 分步计算：先对$x$积分，再对$y$积分，注意代数运算的准确性。

步骤1：确定积分区域D的边界

  1. 直线交点：
    • $y=x$与$y=0$交于$(0,0)$。
    • $x+y=2$与$y=0$交于$(2,0)$。
    • $y=x$与$x+y=2$交于$(1,1)$。
  2. 区域描述：
    • $D$是顶点为$(0,0)$、$(2,0)$、$(1,1)$的三角形。
    • 积分限：$0 \leq y \leq 1$，$y \leq x \leq 2-y$。

步骤2：对$x$积分

$\int_{y}^{2-y} 2xy \, dx = 2y \int_{y}^{2-y} x \, dx = 2y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{y}^{2-y} = y \left[ (2-y)^2 - y^2 \right] = 4y - 4y^2$

步骤3：对$y$积分

$\int_{0}^{1} (4y - 4y^2) \, dy = 4 \int_{0}^{1} y \, dy - 4 \int_{0}^{1} y^2 \, dy = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$