[题目]-|||-.将函数 (x)=dfrac (x)(9+{x)^2} 展开成x的幂级数.

本题考查函数展开成幂级数的知识，解题思路是利用已知的幂级数展开式，通过适当的变形将给定函数转化为可利用已知展开式的形式，进而得到函数的幂级数展开式。

已知等比级数的展开式为$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^n$，其收敛区间为$\vert t\vert\lt 1$。

1. 对函数$f(x)=\frac{x}{9 + x^2}$进行变形：
   • 先将分母提出$9$，可得$f(x)=\frac{x}{9 + x^2}=\frac{x}{9(1+\frac{x^2}{9})}$。
   • 令$t =-\frac{x^2}{9}$，则$f(x)=\frac{x}{9}\cdot\frac{1}{1 - (-\frac{x^2}{9})}$。
2. 利用等比级数展开式：
   • 因为$\frac{1}{1 - t}=\sum_{n = 0}^{\infty}t^n$（$\vert t\vert\lt 1$），把$t =-\frac{x^2}{9}$代入可得$\frac{1}{1+\frac{x^2}{9}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-\frac{x^2}{9})^n$。
   • 此时需要确定该展开式的收敛区间，由$\vert t\vert\lt 1$，即$\vert-\frac{x^2}{9}\vert\lt 1$，也就是$\frac{x^2}{9}\lt 1$，进一步得到$x^2\lt 9$，解不等式可得$\vert x\vert\lt 3$。
3. 得到$f(x)$的幂级数展开式：
   • 因为$f(x)=\frac{x}{9}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{9}}$，将$\frac{1}{1+\frac{x^2}{9}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-\frac{x^2}{9})^n$代入可得：
     • $f(x)=\frac{x}{9}\sum_{n = 0}^{\infty}(-\frac{x^2}{9})^n$。
     • 根据幂的运算法则$(ab)^m=a^m b^m$，$(-\frac{x^2}{9})^n=(-1)^n\frac{(x^2)^n}{9^n}=(-1)^n\frac{x^{2n}}{9^n}$，则$f(x)=\frac{x}{9}\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{9^n}$。
     • 再根据乘法分配律$a\sum_{n = 0}^{\infty}b_n=\sum_{n = 0}^{\infty}ab_n$，可得$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x}{9}\cdot(-1)^n\frac{x^{2n}}{9^n}$。
     • 又根据同底数幂相乘$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$\frac{x}{9}\cdot(-1)^n\frac{x^{2n}}{9^n}=(-1)^n\frac{x^{2n + 1}}{9^{n+1}}$，而$9^{n + 1}=3^{2(n + 1)}=3^{2n+2}$，所以$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{3^{2n+2}}$，收敛区间为$\vert x\vert\lt 3$。