题目
二、计算题（共36分）1、（12分）已知RV(xi,eta)有联合分布密度p(x,y)=}kxy&0<2,0<30&其他试求未知量k以及边缘分布密度，并考察xi与eta的独立性
二、计算题（共36分）
1、（12分）已知$RV(\xi,\eta)$有联合分布密度
$p(x,y)=\begin{cases}kxy&0<2,0<3\\0&其他\end{cases}$
试求未知量k以及边缘分布密度，并考察$\xi$与$\eta$的独立性
题目解答
答案
为了求解未知量 $ k $ 以及边缘分布密度，并考察 $\xi$ 与 $\eta$ 的独立性，我们将按照以下步骤进行：
1. **确定 $ k $ 的值：**
联合分布密度 $ p(x, y) $ 必须满足整个平面上的积分等于1的条件。因此，我们有：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \, dx \, dy = 1
\]
由于 $ p(x, y) = kxy $ 当 $ 0 < x < 2 $ 和 $ 0 < y < 3 $ 时，否则为0，积分简化为：
\[
\int_0^3 \int_0^2 kxy \, dx \, dy = 1
\]
首先，对 $ x $ 进行积分：
\[
\int_0^2 kxy \, dx = k y \int_0^2 x \, dx = k y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = k y \cdot \frac{4}{2} = 2ky
\]
现在，对 $ y $ 进行积分：
\[
\int_0^3 2ky \, dy = 2k \int_0^3 y \, dy = 2k \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^3 = 2k \cdot \frac{9}{2} = 9k
\]
将其设置为等于1，我们得到：
\[
9k = 1 \implies k = \frac{1}{9}
\]
因此，联合分布密度为：
\[
p(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{9}xy & 0 < x < 2, 0 < y < 3 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}
\]
2. **求边缘分布密度 $ p_{\xi}(x) $：**
$\xi$ 的边缘分布密度由联合分布密度关于 $ y $ 的积分给出：
\[
p_{\xi}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \, dy = \int_0^3 \frac{1}{9}xy \, dy
\]
对 $ y $ 进行积分：
\[
\int_0^3 \frac{1}{9}xy \, dy = \frac{1}{9}x \int_0^3 y \, dy = \frac{1}{9}x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^3 = \frac{1}{9}x \cdot \frac{9}{2} = \frac{x}{2}
\]
因此，边缘分布密度 $ p_{\xi}(x) $ 为：
\[
p_{\xi}(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & 0 < x < 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}
\]
3. **求边缘分布密度 $ p_{\eta}(y) $：**
$\eta$ 的边缘分布密度由联合分布密度关于 $ x $ 的积分给出：
\[
p_{\eta}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \, dx = \int_0^2 \frac{1}{9}xy \, dx
\]
对 $ x $ 进行积分：
\[
\int_0^2 \frac{1}{9}xy \, dx = \frac{1}{9}y \int_0^2 x \, dx = \frac{1}{9}y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{9}y \cdot \frac{4}{2} = \frac{2y}{9}
\]
因此，边缘分布密度 $ p_{\eta}(y) $ 为：
\[
p_{\eta}(y) = \begin{cases} \frac{2y}{9} & 0 < y < 3 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}
\]
4. **考察 $\xi$ 与 $\eta$ 的独立性：**
两个随机变量 $\xi$ 和 $\eta$ 是独立的，如果它们的联合分布密度等于它们的边缘分布密度的乘积。也就是说，如果 $ p(x, y) = p_{\xi}(x) p_{\eta}(y) $ 对所有 $ x $ 和 $ y $ 都成立。
我们有：
\[
p(x, y) = \frac{1}{9}xy
\]
和
\[
p_{\xi}(x) p_{\eta}(y) = \left( \frac{x}{2} \right) \left( \frac{2y}{9} \right) = \frac{xy}{9}
\]
由于 $ p(x, y) = p_{\xi}(x) p_{\eta}(y) $，随机变量 $\xi$ 和 $\eta$ 是独立的。
最终答案为：
\[
\boxed{k = \frac{1}{9}, \quad p_{\xi}(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & 0 < x < 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}, \quad p_{\eta}(y) = \begin{cases} \frac{2y}{9} & 0 < y < 3 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}, \quad \text{$\xi$ 和 $\eta$ 是独立的}}
\]
解析
本题主要考察二维随机变量联合分布密度的性质、边缘分布密度的计算以及随机变量独立性的判断。解题思路如下：
- 确定未知量 $k$ 的值：根据联合分布密度在整个平面上的积分等于 1 的性质，对给定的联合分布密度 $p(x,y)$ 在其非零区域进行二重积分，从而求出 $k$ 的值。
- 求边缘分布密度 $p_{\xi}(x)$：通过对联合分布密度 $p(x,y)$ 关于 $y$ 在其取值范围内进行积分，得到 $\xi$ 的边缘分布密度。
- 求边缘分布密度 $p_{\eta}(y)$：同理，对联合分布密度 $p(x,y)$ 关于 $x$ 在其取值范围内进行积分，得到 $\eta$ 的边缘分布密度。
- 考察 $\xi$ 与 $\eta$ 的独立性：判断联合分布密度 $p(x,y)$ 是否等于边缘分布密度 $p_{\xi}(x)$ 与 $p_{\eta}(y)$ 的乘积，若相等则 $\xi$ 与 $\eta$ 独立，否则不独立。
详细解答
- 确定 $k$ 的值：
已知联合分布密度 $p(x,y)$ 满足 $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \, dx \, dy = 1$，因为 $p(x, y) = kxy$ 当 $0 < x < 2$ 和 $0 < y < 3$ 时，否则为 0，所以积分简化为：
$\begin{align*}\int_0^3 \int_0^2 kxy \, dx \, dy &= 1\\\int_0^2 kxy \, dx &= k y \int_0^2 x \, dx\\&= k y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2\\&= k y \cdot \frac{4}{2}\\&= 2ky\end{align*}$
再对 $y$ 进行积分：
$\begin{align*}\int_0^3 2ky \, dy &= 2k \int_0^3 y \, dy\\&= 2k \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^3\\&= 2k \cdot \frac{9}{2}\\&= 9k\end{align*}$
令 $9k = 1$，解得 $k = \frac{1}{9}$。
此时联合分布密度为 $p(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{9}xy & 0 < x < 2, 0 < y < 3 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$。 - 求边缘分布密度 $p_{\xi}(x)$：
$\xi$ 的边缘分布密度 $p_{\xi}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \, dy = \int_0^3 \frac{1}{9}xy \, dy$，对 $y$ 进行积分：
$\begin{align*}\int_0^3 \frac{1}{9}xy \, dy &= \frac{1}{9}x \int_0^3 y \, dy\\&= \frac{1}{9}x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^3\\&= \frac{1}{9}x \cdot \frac{9}{2}\\&= \frac{x}{2}\end{align*}$
所以边缘分布密度 $p_{\xi}(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & 0 < x < 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$。 - 求边缘分布密度 $p_{\eta}(y)$：
$\eta$ 的边缘分布密度 $p_{\eta}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \, dx = \int_0^2 \frac{1}{9}xy \, dx$，对 $x$ 进行积分：
$\begin{align*}\int_0^2 \frac{1}{9}xy \, dx &= \frac{1}{9}y \int_0^2 x \, dx\\&= \frac{1}{9}y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2\\&= \frac{1}{9}y \cdot \frac{4}{2}\\&= \frac{2y}{9}\end{align*}$
所以边缘分布密度 $p_{\eta}(y) = \begin{cases} \frac{2y}{9} & 0 < y < 3 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$。 - 考察 $\xi$ 与 $\eta$ 的独立性：
计算 $p_{\xi}(x) p_{\eta}(y) = \left( \frac{x}{2} \right) \left( \frac{2y}{9} \right) = \frac{xy}{9}$，而 $p(x, y) = \frac{1}{9}xy$，因为 $p(x, y) = p_{\xi}(x) p_{\eta}(y)$，所以随机变量 $\xi$ 和 $\eta$ 是独立的。