题目
6.已知 f(x,y)= ) 1,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 0, . 设D为由 x=0 、 y=0 及 x+y=t 所围成的区域,-|||-求 (t)=iint f(x,y)dxdy.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数f(x,y)的定义域
函数f(x,y)在0≤x≤1,0≤y≤1的范围内取值为1，其他区域取值为0。
步骤 2：确定区域D的边界
区域D由x=0，y=0及x+y=t所围成。根据t的取值，区域D的形状和大小会变化。
步骤 3：分段讨论F(t)的值
- 当t<0时，区域D为空，F(t)=0。
- 当0≤t<1时，区域D为一个直角三角形，F(t)等于该三角形的面积。
- 当1≤t<2时，区域D为一个直角三角形减去一个直角三角形，F(t)等于大三角形的面积减去小三角形的面积。
- 当t≥2时，区域D为一个单位正方形，F(t)=1。
函数f(x,y)在0≤x≤1,0≤y≤1的范围内取值为1，其他区域取值为0。
步骤 2：确定区域D的边界
区域D由x=0，y=0及x+y=t所围成。根据t的取值，区域D的形状和大小会变化。
步骤 3：分段讨论F(t)的值
- 当t<0时，区域D为空，F(t)=0。
- 当0≤t<1时，区域D为一个直角三角形，F(t)等于该三角形的面积。
- 当1≤t<2时，区域D为一个直角三角形减去一个直角三角形，F(t)等于大三角形的面积减去小三角形的面积。
- 当t≥2时，区域D为一个单位正方形，F(t)=1。