题目
[训练2]已知 Delta ABC 的重心为G,O为坐标原点, overrightarrow (OA)=-|||-a, overrightarrow (OB)=b overrightarrow (OC)=c, 求证: overrightarrow (OG)=dfrac (1)(3)(a+b+c).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定重心G的位置
重心G是三角形ABC的三条中线的交点，每条中线将对边分成相等的两部分。因此，重心G将每条中线分成2:1的比例，其中较长的一段靠近顶点。
步骤 2：利用向量表示重心G的位置
设M为BC的中点，那么$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = b - a + \frac{1}{2}(c - b) = \frac{1}{2}(c + b - 2a)$。因为G将中线AM分成2:1的比例，所以$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(c + b - 2a)$。
步骤 3：计算$\overrightarrow{OG}$
$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG} = a + \frac{1}{3}(c + b - 2a) = \frac{1}{3}(a + b + c)$。
重心G是三角形ABC的三条中线的交点，每条中线将对边分成相等的两部分。因此，重心G将每条中线分成2:1的比例，其中较长的一段靠近顶点。
步骤 2：利用向量表示重心G的位置
设M为BC的中点，那么$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = b - a + \frac{1}{2}(c - b) = \frac{1}{2}(c + b - 2a)$。因为G将中线AM分成2:1的比例，所以$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(c + b - 2a)$。
步骤 3：计算$\overrightarrow{OG}$
$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG} = a + \frac{1}{3}(c + b - 2a) = \frac{1}{3}(a + b + c)$。